L'essentiel avec Coach Vince
Une fonction est une relation qui associe à chaque nombre de départ un unique nombre d’arrivée. On note souvent une fonction avec une lettre, par exemple f. Si le nombre x a pour image 7 par la fonction f, on écrit f(x) = 7. Cette écriture se lit : « f de x égale 7 ». La lettre x représente un nombre que l’on peut choisir ; elle est appelée la variable. Le résultat f(x) dépend de la valeur choisie pour x. Imagine une machine : tu introduis x, la machine applique une règle de calcul, puis elle fournit f(x). Pour que ce soit une fonction, chaque entrée doit conduire à une seule sortie. Par exemple, la règle « ajouter 4 » définit une fonction : à 3, elle associe 7 ; à −2, elle associe 2. En revanche, la consigne « associer à un nombre l’un de ses diviseurs » ne définit pas une fonction : le nombre 12 peut être associé à 1, 2, 3, 4, 6 ou 12. Plusieurs sorties sont possibles pour une même entrée. Retiens le critère décisif : un nombre de départ ne doit jamais avoir deux images différentes. En revanche, deux nombres de départ différents peuvent avoir la même image. La règle qui associe à x son carré donne par exemple 9 comme image de 3 et aussi de −3. C’est autorisé. Tu dois donc toujours regarder dans quel sens va l’association avant de répondre.
| Expression | Sens exact | Exemple avec g(x) = 2x − 1 |
|---|---|---|
| x | Nombre de départ. | Pour x = 4, on choisit le nombre 4. |
| g(x) | Image de x par la fonction g. | g(4) = 2 × 4 − 1 = 7 : l’image de 4 est 7. |
| Antécédent de 7 | Nombre dont l’image est 7. | 4 est un antécédent de 7 car g(4) = 7. |
| g(0) | Image de 0. | g(0) = 2 × 0 − 1 = −1. |
| g(x) = 5 | Équation permettant de chercher les antécédents de 5. | 2x − 1 = 5, donc x = 3. |
Ne réponds pas trop vite : les mots indiquent le sens du travail. « Calculer l’image de −1 » signifie calculer f(−1). « Chercher les antécédents de −1 » signifie résoudre f(x) = −1 ou lire tous les x dont l’image vaut −1. Avec f(x) = x², l’image de −3 est 9. Les antécédents de 9 sont −3 et 3, car (−3)² = 9 et 3² = 9. En revanche, −9 n’a aucun antécédent par cette fonction, car le carré d’un nombre réel ne peut pas être négatif. Une image est toujours unique pour un nombre choisi. Un nombre peut toutefois avoir plusieurs antécédents : c’est le cas de 9 ici. Dans une réponse rédigée, écris une égalité complète : « f(−3) = 9, donc l’image de −3 par f est 9. » Pour un antécédent, inverse la phrase : « f(3) = 9, donc 3 est un antécédent de 9 par f. » Cette précision de vocabulaire marque ta rigueur.
Une fonction peut être définie par une phrase, une formule, un tableau ou une courbe. Ces représentations décrivent la même relation, mais chacune est utile dans une situation précise. Pour tracer une courbe à partir d’une formule, choisis plusieurs valeurs de x, calcule soigneusement leurs images et construis un tableau. Place ensuite chaque point de coordonnées (x ; f(x)) dans un repère. Les coordonnées se lisent toujours dans cet ordre : d’abord l’abscisse sur l’axe horizontal, puis l’ordonnée sur l’axe vertical. Relie les points seulement si la situation ou la formule le justifie. Par exemple, si f(x) = 2x + 1, le point associé à x = 3 est A(3 ; 7), car f(3) = 7. Si x augmente de 1, l’image augmente de 2 : les points sont alignés, et la représentation est une droite. Mais une fonction ne donne pas toujours une droite. La fonction carrée f(x) = x² donne une courbe. Avant toute lecture graphique, observe l’échelle de chaque axe : un carreau ne représente pas forcément une unité. Au brevet, une valeur lue sur une courbe peut être exacte ou approchée. Si elle est approchée, utilise le symbole ≈ et écris par exemple f(2) ≈ 3,5. Ne transforme pas une lecture graphique en égalité exacte si le dessin ne le permet pas. Dernier réflexe : vérifie la cohérence. Une image lue à droite de l’axe vertical correspond à un antécédent positif ; une image sous l’axe horizontal est négative. Ce contrôle rapide évite les inversions d’axes.
Commence par identifier la demande : image, antécédent, tableau à compléter ou lecture graphique. Choisis ensuite la bonne représentation et écris le calcul, la lecture ou l’équation correspondant exactement à la question. Termine par une phrase utilisant le vocabulaire demandé. Si une courbe est utilisée, indique une valeur approchée seulement lorsque la lecture dépend du dessin. Coach Vince te demande une rédaction courte, mais vérifiable.
Tu dois calculer une image, rechercher un ou plusieurs antécédents, compléter un tableau ou interpréter une courbe dans une situation donnée.
Énoncé. Soit la fonction f définie par f(x) = 4x − 3. Calcule l’image de −2.
Résultat : L’image de −2 par la fonction f est −11.
Énoncé. La fonction g est définie par g(x) = x² − 1. Détermine les antécédents de 8.
Résultat : Les antécédents de 8 par g sont −3 et 3.
Énoncé. La fonction h est définie par h(x) = 3x + 2. Complète les images de −1, 0 et 2.
Résultat : Le tableau contient les couples (−1 ; −1), (0 ; 2) et (2 ; 8).
Annonce l’objet du calcul
Avant de remplacer x, écris clairement f(nombre) = … . Au brevet, cette ligne montre que tu réponds bien à une question d’image.
Contrôle le sens de ta phrase
Après le calcul, relis les mots « image » et « antécédent » avant de conclure. Une égalité juste peut recevoir une phrase finale fausse si tu inverses le vocabulaire.
Indique si chaque association définit une fonction.
Complète chaque phrase avec le vocabulaire exact.
Calcule les images demandées.
Complète les images dans le tableau de la fonction h(x) = x² − 4.
Détermine tous les antécédents demandés.
Associe chaque point à l’égalité correcte pour la fonction f.
Justifie si la relation suivante définit une fonction.
À chaque nombre entier, on associe son chiffre des unités.
À chaque nombre entier non nul, on associe un de ses diviseurs.
Réponds en justifiant par un calcul.
Le prix P(x), en euros, de x carnets identiques est défini par P(x) = 2,5x + 3. Calcule le prix de 4 carnets.
Dans la même situation, détermine le nombre de carnets correspondant à un prix de 18 euros.
Rédige les calculs nécessaires et conclus avec le vocabulaire exact.
| Erreur à éviter | Pourquoi | Le bon réflexe |
|---|---|---|
| Écrire que 7 est l’antécédent de 4 lorsque f(4) = 7. | L’égalité indique que 7 est l’image de 4 ; le sens des mots a été inversé. | Lis l’égalité de gauche à droite : le nombre dans la parenthèse est l’antécédent, le résultat est l’image. |
| Calculer (−3)² comme −9. | Le carré porte sur tout le nombre −3, donc (−3) × (−3) est positif. | Place des parenthèses autour d’un nombre négatif avant de calculer son carré. |
| Donner un seul antécédent sans vérifier s’il en existe d’autres. | Une fonction donne une seule image pour chaque entrée, mais une image peut provenir de plusieurs entrées. | Avec une courbe, trace mentalement une horizontale ; avec une formule, résous complètement l’équation. |
Demandez à votre adolescent d’expliquer le sens des mots « image » et « antécédent » avec une égalité simple, puis laissez-le calculer seul.
Temps conseillé : ~15 min.
Oui. Avec f(x) = x², les nombres −2 et 2 ont la même image : 4.
Oui, aucun, un ou plusieurs. Cela dépend de la fonction et de l’image recherchée.
Toute droite verticale doit couper la courbe au plus une fois. Sinon, une même abscisse aurait plusieurs images.
Oui si la valeur est lue sur le dessin et n’est pas repérée avec exactitude. Utilise = seulement pour une valeur exacte.
Cinq formats prêts à utiliser : complète, élève, vidéoprojection, dys et noir et blanc. Gratuit, sans inscription.
Le QG