L'essentiel avec Coach Vince
Une homothétie est une transformation du plan définie par deux informations indispensables : un centre, noté en général O, et un rapport, noté k. L’image d’un point A est un point A′. Dire que A′ est l’image de A par l’homothétie de centre O et de rapport k signifie que les points O, A et A′ sont alignés et que la longueur OA′ vaut |k| × OA. Le signe de k ne modifie pas cette longueur : il indique la position de A′ par rapport au centre. Si k est positif, A et A′ sont sur la même demi-droite d’origine O. Si k est négatif, ils sont sur deux demi-droites opposées d’origine O. Tu dois donc toujours examiner à la fois la valeur absolue et le signe du rapport.<br><br>Le centre O est un point fixe : son image est lui-même. On écrit O′ = O. Si k = 1, chaque point garde sa place : l’homothétie est l’identité. Si k = −1, l’image A′ de A est telle que O est le milieu de [AA′] : c’est la symétrie centrale de centre O. Si k = 0, tous les points ont pour image O ; on obtient une transformation particulière qui écrase toute figure sur le centre. Dans les problèmes de construction et de calcul, les rapports les plus fréquents sont différents de 0.<br><br>Lorsque |k| est supérieur à 1, les distances au centre augmentent : on parle d’agrandissement. Lorsque |k| est compris entre 0 et 1, les distances au centre diminuent : on parle de réduction. Un rapport négatif peut donc aussi produire un agrandissement ou une réduction. Par exemple, k = −2 agrandit la figure, car |−2| = 2, tout en plaçant les images de l’autre côté du centre. À l’inverse, k = −½ réduit la figure de moitié et place les images sur les demi-droites opposées. Ne confonds jamais « négatif » avec « réduction » : c’est la comparaison entre |k| et 1 qui décide.
Pour construire l’image A′ d’un point A par une homothétie de centre O et de rapport k, commence par tracer la droite (OA). C’est obligatoire : l’image d’un point appartient toujours à cette droite. Calcule ensuite la longueur OA′ en utilisant OA′ = |k| × OA. Si k est positif, place A′ sur la demi-droite [OA). Si k est négatif, place A′ sur la demi-droite opposée à [OA). Termine par un contrôle : O, A et A′ doivent être alignés, et la distance OA′ doit correspondre au calcul.<br><br>Exemple : OA = 4 cm et k = −3/2. La longueur cherchée vaut OA′ = 3/2 × 4 = 6 cm. Comme le rapport est négatif, A′ est situé de l’autre côté de O par rapport à A, à 6 cm de O. Écrire seulement « OA′ = −6 cm » serait faux : une longueur est toujours positive ou nulle. Le signe appartient au rapport et à la position sur la droite, pas à la mesure de la longueur.<br><br>Pour construire l’image d’une figure, construis l’image de chacun de ses sommets. Si un triangle ABC devient A′B′C′, relie les images dans le même ordre : [A′B′], [B′C′] et [C′A′]. Une construction propre exige des traits de construction visibles, des points nommés et une règle utilisée avec précision. Sur une figure déjà tracée, ne te contente pas d’un placement « à vue » : mesure ou utilise le quadrillage lorsque l’énoncé le permet.
| Élément étudié | Effet par une homothétie de rapport k | Ce que tu dois écrire ou vérifier |
|---|---|---|
| Distance entre deux points A et B | A′B′ = |k| × AB. | Cette formule concerne une longueur. Utilise |k|, même si le rapport est négatif. |
| Longueur OA depuis le centre | OA′ = |k| × OA. | Place ensuite A′ du bon côté de O selon le signe de k. |
| Angle | L’angle image a la même mesure que l’angle initial. | Un angle droit reste droit, un angle de 35° reste un angle de 35°. Cette conservation vaut pour toute homothétie. |
| Aire d’une surface | L’aire image vaut k² × l’aire initiale. | Le carré rend le résultat positif. Avec k = −2, l’aire est multipliée par 4, et non par −2. |
| Droite passant par O | Son image est la même droite. | Deux points de cette droite restent alignés avec O : la droite est invariante. |
| Droite ne passant pas par O | Son image est une droite parallèle. | Pour un segment [AB], le segment image [A′B′] est parallèle à [AB]. |
| Figure géométrique | Les côtés correspondants restent parallèles et les angles sont conservés. | Un triangle garde sa forme, mais sa taille dépend de |k|. Il reste donc semblable à son image. |
Une homothétie conserve les mesures des angles et multiplie toutes les longueurs par le même nombre |k|. Une figure et son image ont donc la même forme : elles sont semblables. Cette idée permet de reconnaître une situation d’homothétie dans une configuration où des droites sont parallèles. Si A, O, A′ sont alignés, si B, O, B′ sont alignés et si (AB) est parallèle à (A′B′), alors les triangles OAB et OA′B′ ont la même forme. Lorsque les rapports OA′ ÷ OA et OB′ ÷ OB sont égaux, l’homothétie de centre O est justifiée.<br><br>Attention à la rédaction : constater que deux segments sont parallèles ne suffit pas à annoncer une homothétie. Il faut identifier le centre, les points correspondants et le rapport commun. De même, des longueurs proportionnelles seules ne suffisent pas toujours : les alignements avec le centre doivent être établis. Dans un exercice de brevet, une figure codée peut suggérer ces informations, mais seules les données de l’énoncé et les propriétés démontrées servent de justification.<br><br>L’homothétie peut aussi s’intégrer à une question de Pythagore. Le théorème de Pythagore s’applique uniquement dans un triangle rectangle. Si ABC est rectangle en A, son hypoténuse est [BC], car elle est opposée à l’angle droit. Après une homothétie, A′B′C′ est rectangle en A′ et son hypoténuse est [B′C′]. Tu peux alors soit multiplier les longueurs par |k|, soit utiliser Pythagore dans le triangle image, à condition de justifier qu’il est rectangle. Choisis la méthode la plus directe : si le rapport est connu, multiplier les longueurs est souvent plus rapide.<br><br>Pour finir une réponse, annonce clairement ce que représente ton nombre et son unité. Écris « A′B′ = 12 cm » pour une longueur ou « l’aire de A′B′C′ est égale à 27 cm² » pour une aire. Coach Vince te le rappelle : une réponse exacte, non rédigée et sans unité, n’est pas une finale propre.
On te demande surtout de calculer une longueur ou une aire, de construire une image, ou de justifier qu’une figure est l’image d’une autre par une homothétie.
Énoncé. Le point A est tel que OA = 4 cm. Construis son image A′ par l’homothétie de centre O et de rapport −3/2.
Résultat : A′ est sur la droite (OA), de l’autre côté de O par rapport à A, avec OA′ = 6 cm.
Énoncé. Le triangle ABC a AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm et une aire de 6 cm². Son image A′B′C′ est obtenue par une homothétie de rapport −3/2. Détermine les longueurs de l’image, son aire et la mesure de l’angle A si l’angle A mesure 90°.
Résultat : A′B′ = 4,5 cm, A′C′ = 6 cm, B′C′ = 7,5 cm, l’aire vaut 13,5 cm² et le triangle image est rectangle en A′.
Annonce la propriété
Avant tout calcul, écris la règle utilisée : longueurs multipliées par |k| ou aires multipliées par k². Ta justification doit précéder les nombres.
Fais un contrôle final
Compare ton résultat à la taille attendue selon |k|. Vérifie aussi le côté du centre si le rapport est négatif et n’oublie jamais l’unité.
Complète chaque affirmation.
Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse.
Calcule les grandeurs demandées.
Décris la construction du point image demandé.
Résous en justifiant les calculs.
ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 6 cm, AC = 8 cm et BC = 10 cm. Son image A′B′C′ est obtenue par une homothétie de centre O et de rapport −½. Donne les trois longueurs images et précise le sommet de l’angle droit.
Détermine le rapport de l’homothétie et justifie son signe.
O, A et A′ sont alignés. OA = 4 cm et OA′ = 10 cm. Les points A et A′ sont sur des demi-droites opposées d’origine O.
O, B et B′ sont alignés. OB = 12 cm et OB′ = 3 cm. Les points B et B′ sont sur la même demi-droite d’origine O.
Rédige une justification complète.
Les points O, A, A′ sont alignés avec A et A′ sur la même demi-droite d’origine O. Les points O, B, B′ sont alignés avec B et B′ sur la même demi-droite d’origine O. OA = 3 cm, OA′ = 9 cm, OB = 5 cm et OB′ = 15 cm. Justifie que A′B′ est l’image de AB par une homothétie.
Analyse puis calcule les grandeurs demandées.
Réponds avec une rédaction rigoureuse et indique les unités.
| Erreur à éviter | Pourquoi | Le bon réflexe |
|---|---|---|
| Écrire OA′ = −6 cm lorsque le rapport est négatif. | Une longueur ne peut pas être négative ; le signe du rapport indique une position sur la droite. | Calcule avec |k|, puis place l’image du côté opposé au point initial si k est négatif. |
| Multiplier une aire par k au lieu de k². | Une aire dépend de deux dimensions, chacune multipliée par |k|. | Écris systématiquement « aire image = k² × aire initiale » avant de remplacer. |
| Conclure à une homothétie parce que deux segments sont parallèles. | Le parallélisme seul ne donne ni le centre ni le rapport de la transformation. | Vérifie les alignements avec le centre et justifie le même rapport pour les points correspondants. |
Laissez votre adolescent chercher seul, puis demandez-lui d’expliquer ses choix avec les mots centre, rapport, longueur et aire.
Temps conseillé : ~20 min.
Parce qu’une longueur est positive. Le signe de k sert uniquement à indiquer si l’image est du même côté du centre ou du côté opposé.
Non. Avec k = −2, les longueurs sont multipliées par 2 : il s’agit d’un agrandissement. Observe |k|.
Non, leur mesure est conservée. Un angle droit reste donc un angle droit.
Divise une longueur image par la longueur initiale correspondante. Pour connaître le signe, utilise ensuite la position des points par rapport au centre.
Cite la propriété de l’homothétie, effectue le calcul, puis donne une conclusion avec la grandeur demandée et son unité.
Cinq formats prêts à utiliser : complète, élève, vidéoprojection, dys et noir et blanc. Gratuit, sans inscription.
Le QG