L'essentiel avec Coach Vince
Le volume d’un solide mesure la place qu’il occupe dans l’espace. Son unité est une unité cubique : cm³, m³ ou dm³. Un cube de côté 1 cm a un volume de 1 cm³. Ne confonds jamais le volume avec l’aire : une aire mesure une surface et s’exprime en cm² ou en m², tandis qu’un volume s’exprime en cm³ ou en m³. Avant tout calcul, vérifie que les longueurs sont exprimées dans la même unité. Par exemple, si l’aire de base est en cm² et la hauteur en cm, le volume obtenu est en cm³. Si une longueur est donnée en m et les autres en cm, convertis-la avant de remplacer dans une formule. Le symbole V désigne souvent un volume, B l’aire de la base et h la hauteur. Dans un solide, la hauteur est la distance perpendiculaire entre la base et le sommet, ou entre les deux bases lorsqu’elles sont parallèles. Ce n’est pas forcément une arête visible sur le dessin. Ton premier réflexe doit donc être géométrique : repère les bases, la hauteur et les dimensions utiles. Un dessin en perspective peut masquer certaines longueurs, mais il ne change pas les propriétés du solide. Reste précis : tu n’utilises une formule que lorsque les conditions correspondant au solide sont réunies.
| Solide | Condition et formule | Aire de base possible |
|---|---|---|
| Prisme droit | Ses deux bases sont parallèles et superposables. V = B × h. | Rectangle : longueur × largeur ; triangle : base × hauteur ÷ 2. |
| Cylindre de révolution | Ses bases sont deux disques parallèles. V = π × r² × h. | Disque : π × r². |
| Pyramide | Elle possède une base et un sommet hors du plan de cette base. V = B × h ÷ 3. | L’aire dépend de la forme de la base. |
| Cône de révolution | Sa base est un disque et son sommet est hors du plan de la base. V = π × r² × h ÷ 3. | Disque : π × r². |
| Boule | Elle est définie par son rayon r. V = 4 × π × r³ ÷ 3. | Il n’y a pas de base. |
Une section est la figure plane obtenue lorsqu’un plan coupe un solide. La surface dessinée par la coupe appartient au plan de section. Pour identifier sa forme, cherche quelles faces sont coupées et observe le parallélisme du plan. Dans un prisme droit ou un cylindre, une section par un plan parallèle aux bases est respectivement une figure superposable à la base ou un disque de même rayon. Dans une pyramide ou un cône, une section par un plan parallèle à la base est une réduction de la base : les figures sont semblables, mais elles ne sont pas de même taille. Dans un cylindre de révolution, une section par un plan contenant l’axe est un rectangle de longueur h et de largeur égale au diamètre 2r. Dans un cône de révolution, une section par un plan contenant l’axe est un triangle isocèle. Attention : une coupe oblique peut produire une forme différente ; tu ne peux pas annoncer une figure sans tenir compte de la position exacte du plan.
Lorsqu’un plan parallèle à la base coupe une pyramide ou un cône, il délimite un petit solide semblable au solide initial. On peut alors utiliser un coefficient de réduction k, avec 0 < k < 1. Toutes les longueurs correspondantes sont multipliées par k. Les aires correspondantes sont multipliées par k² et les volumes correspondants par k³. Cette règle est valable seulement pour des solides semblables, notamment lorsque la section est parallèle à la base dans une pyramide ou un cône. Exemple : une petite pyramide obtenue par une section parallèle à la base a une hauteur égale à la moitié de celle de la grande pyramide. Son coefficient de réduction est k = ½. Son volume vaut donc ½³ = ⅛ du volume de la grande pyramide. Ne divise pas simplement le volume par 2 : les trois dimensions sont réduites. Dans un exercice, les longueurs peuvent être trouvées grâce à Thalès si les segments sont situés sur des droites sécantes coupées par des droites parallèles. Rédige alors les conditions avant le calcul : les points doivent être alignés de manière adaptée et les droites considérées doivent être parallèles. Pour finir, distingue une section et une face : une face appartient au solide avant la coupe ; une section apparaît parce qu’un plan traverse le solide. Cette différence de vocabulaire compte dans une réponse de géométrie. S’échauffer sur le dessin, identifier la propriété, puis calculer : c’est le bon ordre.
Tu dois calculer le volume d’un solide, identifier une section ou exploiter une réduction dans une pyramide ou un cône en justifiant les étapes utiles.
Énoncé. Un cylindre de révolution a un rayon de 3 cm et une hauteur de 7 cm. Calcule son volume exact, puis une valeur approchée au dixième près.
Résultat : Le volume exact est 63π cm³. Au dixième près, V ≈ 197,8 cm³.
Énoncé. Une pyramide a pour base un rectangle de longueur 8 cm et de largeur 5 cm. Sa hauteur est 9 cm. Calcule son volume.
Résultat : Le volume de la pyramide est 120 cm³.
Énoncé. Un cône de révolution a une hauteur de 12 cm. Un plan parallèle à sa base le coupe à 3 cm du sommet. Le rayon de la petite section est 2 cm. Calcule le rayon de la base du grand cône.
Résultat : Le rayon de la base du grand cône est 8 cm.
Annonce la formule
Avant chaque calcul, nomme le solide et écris la formule valable. Au brevet, cette ligne montre que ton raisonnement est maîtrisé.
Termine par un contrôle
Relis l’unité et vérifie l’ordre de grandeur obtenu. Un volume en cm² ou une pyramide plus grande que le prisme correspondant doivent t’alerter.
Choisis l’unité adaptée à chaque grandeur.
Associe chaque solide à sa formule de volume.
Calcule le volume du pavé droit.
Calcule le volume exact du cylindre.
Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse, puis corrige les affirmations fausses.
Calcule le volume de la pyramide.
Détermine le volume de la petite pyramide et justifie.
Une section parallèle à la base découpe une petite pyramide semblable à la grande. Le coefficient de réduction est k = ½. Le volume de la grande pyramide est 320 cm³.
Rédige une solution complète et justifiée.
Un cône de révolution a un rayon de 4 cm et une hauteur de 12 cm. Calcule son volume exact.
Réalise les calculs avec soin et rédige les justifications demandées.
| Erreur à éviter | Pourquoi | Le bon réflexe |
|---|---|---|
| Utiliser le diamètre à la place du rayon dans π × r². | La formule de l’aire du disque et celle du volume du cylindre utilisent le rayon, pas le diamètre. | Si le diamètre vaut d, écris d ÷ 2 pour trouver le rayon avant de calculer. |
| Oublier de diviser par 3 pour une pyramide ou un cône. | La formule B × h donne le volume d’un prisme droit ou d’un cylindre, pas celui d’une pyramide ou d’un cône. | Entoure « ÷ 3 » dès que tu reconnais une pyramide ou un cône. |
| Dire qu’une section parallèle à la base d’une pyramide est égale à la base. | Elle a la même forme, mais elle est réduite lorsque le plan ne coïncide pas avec la base. | Écris « figure semblable à la base » et cherche le coefficient de réduction. |
Demandez-lui d’expliquer son choix de formule à voix haute avant de regarder ses calculs.
Temps conseillé : ~20 min.
Non. Donne d’abord la valeur exacte avec π. Ajoute une valeur approchée seulement si la consigne le demande.
C’est le segment issu du sommet et perpendiculaire au plan de la base. Une arête inclinée n’est pas automatiquement la hauteur.
Non. Dans un cylindre, elle est un disque de même rayon que la base, donc elle est superposable à la base.
Non. Il faut disposer de droites parallèles et des alignements nécessaires. Dans une pyramide, une section parallèle à la base fournit souvent cette configuration.
Cinq formats prêts à utiliser : complète, élève, vidéoprojection, dys et noir et blanc. Gratuit, sans inscription.
Le QG