Le volume du cône et de la pyramide en 3ᵉ : cours, exercices et méthode pour le brevet

Reconnaître les solides et leurs éléments utiles

Une pyramide est un solide qui possède une base polygonale et un sommet situé hors du plan de cette base. Ses faces latérales sont des triangles qui rejoignent toutes le sommet. La base peut être un carré, un rectangle, un triangle ou tout autre polygone. Un cône de révolution possède une base circulaire et un sommet. Sa surface latérale est courbe. Il est obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour de l’un de ses côtés de l’angle droit. Dans les deux solides, tu dois distinguer avec précision la base, le sommet et la hauteur. La hauteur est le segment perpendiculaire au plan de la base, mené du sommet à ce plan. Pour un cône de révolution droit, elle rejoint le centre du disque de base. Pour une pyramide droite, elle rejoint un point particulier de la base, souvent son centre, mais ce n’est pas une obligation pour utiliser la formule. Ne confonds jamais la hauteur avec une arête latérale de pyramide ni avec la génératrice d’un cône. Une arête latérale relie le sommet à un sommet de la base ; elle est inclinée. La génératrice relie le sommet à un point du cercle de base ; elle est aussi inclinée. Elles peuvent être plus longues que la hauteur. Sur un dessin en perspective, une hauteur peut être en pointillés : elle existe même si elle n’est pas visible directement. Lis les légendes avant de choisir une longueur. Ton premier réflexe doit être de repérer la droite perpendiculaire à la base, pas de prendre la mesure qui semble la plus pratique.

La règle à connaître parfaitement

Ton plan de calcul, sans saut d’étape

• 1. Identifie le solide. Écris s’il s’agit d’une pyramide ou d’un cône de révolution. Cela t’aide à choisir la formule adaptée et à organiser ta réponse.
• 2. Choisis la base. Pour une pyramide, regarde la figure située à l’opposé du sommet. Pour un cône, la base est le disque. Note sa forme : carré, rectangle, triangle, disque ou autre polygone.
• 3. Calcule l’aire de la base. Pour un carré de côté c, utilise c². Pour un rectangle, utilise longueur × largeur. Pour un triangle, utilise base × hauteur correspondante ÷ 2. Pour un disque de rayon r, utilise π × r². N’emploie une formule d’aire que si les mesures correspondent bien à la figure.
• 4. Repère la vraie hauteur du solide. Elle doit être perpendiculaire à la base. Si le dessin donne une génératrice ou une arête inclinée, ne la remplace pas automatiquement par la hauteur. Il faut parfois la calculer auparavant avec le théorème de Pythagore, uniquement dans un triangle rectangle.
• 5. Harmonise les unités. L’aire de base et la hauteur doivent être exprimées dans des unités compatibles. Par exemple, une aire en cm² doit être multipliée par une hauteur en cm pour donner un volume en cm³.
• 6. Applique la formule. Écris V = aire de la base × hauteur ÷ 3, puis remplace chaque lettre par sa valeur. Garde π sous forme exacte si aucune valeur approchée n’est demandée.
• 7. Conclus proprement. Donne le volume avec son unité cubique. Si la question porte sur une capacité, convertis seulement à la fin et indique l’unité demandée.

Aires de base et écritures de volume

Cône : rayon, diamètre et génératrice

Pour le cône, l’aire de la base est celle d’un disque : π × r². Attention au vocabulaire. Le rayon va du centre du disque à son cercle. Le diamètre traverse le centre et vaut deux fois le rayon. Si l’énoncé donne un diamètre de 10 cm, le rayon vaut 5 cm ; l’aire de base est alors π × 5², soit 25π cm². Utiliser 10 à la place de 5 donnerait une aire quatre fois trop grande. La génératrice est souvent notée g. Dans un cône de révolution droit, le rayon, la hauteur et la génératrice forment un triangle rectangle. Le théorème de Pythagore s’applique uniquement dans ce triangle rectangle : g² = r² + h². Si tu connais g et r, tu peux obtenir la hauteur par h² = g² − r², puis h = √(g² − r²). Par exemple, avec g = 13 cm et r = 5 cm, h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, donc h = 12 cm. Ensuite seulement, tu calcules le volume. Ne mets jamais la génératrice directement dans la formule du volume : la formule demande la hauteur perpendiculaire.

Unités, capacités et solides assemblés

Les volumes se mesurent en unités cubiques. Passer de cm³ à dm³ ne consiste pas à déplacer la virgule d’un seul rang : chaque longueur est multipliée ou divisée par 10, donc chaque volume est multiplié ou divisé par 1 000. Ainsi, 1 dm³ = 1 000 cm³. De même, 1 m³ = 1 000 dm³. Pour les capacités, retiens les égalités exactes 1 dm³ = 1 L et 1 cm³ = 1 mL. Si un problème demande la contenance d’un récipient en litres, calcule d’abord son volume dans une unité cohérente, puis convertis. Un récipient réellement rempli ne contient pas forcément tout son volume géométrique : suis les informations de l’énoncé. Dans un problème de grandeurs composées, découpe la figure en solides simples. Tu peux additionner leurs volumes s’ils sont accolés sans se chevaucher. Tu peux soustraire le volume d’une partie retirée, par exemple un trou conique creusé dans un bloc. Vérifie alors que tous les volumes sont dans la même unité. Une maquette formée d’un cylindre surmonté d’un cône se traite en deux calculs : volume du cylindre, puis volume du cône, puis addition. N’ajoute jamais des aires à des volumes : cm² et cm³ ne représentent pas la même grandeur. Pour finir, contrôle la cohérence : un cône ou une pyramide ayant même base et même hauteur qu’un cylindre ou un prisme doit avoir un volume trois fois plus petit. Cette vérification rapide évite beaucoup d’erreurs. Reste méthodique : base, aire, hauteur, tiers, unité. C’est ton plan de jeu jusqu’à la réponse finale.