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Mathématiques · Organisation de données et fonctions

Antécédents d'une fonction en 3ᵉ : cours, exercices et méthode pour le brevet

★ Tombe souvent au brevet Difficulté ●●○ 20 min de lecture

Difficulté2/3

Par Damien Chapuis · mis à jour pour la session 2027

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Coach Vince te lit la leçon

L'essentiel avec Coach Vince

Un antécédent de y est un nombre x dont l’image par la fonction est y.
Pour chercher les antécédents de y, tu résous l’égalité f(x) = y.
Une image possède parfois plusieurs antécédents, mais un nombre n’a qu’une seule image par une fonction.

Image et antécédent : le sens des mots

Une fonction associe, à chaque nombre auquel elle est définie, un unique nombre. Si une fonction f associe le nombre x au nombre y, on écrit f(x) = y. Le nombre y est l’image de x par la fonction f. Le nombre x est un antécédent de y par la fonction f. Les deux mots désignent donc le même lien, vu dans des sens opposés. Dans f(4) = 11, 11 est l’image de 4 ; 4 est un antécédent de 11. Pour obtenir une image, tu pars d’un nombre connu et tu appliques la règle de calcul de la fonction. Pour obtenir un antécédent, tu connais le résultat et tu remontes vers le ou les nombres de départ possibles. Ne confonds pas les notations : f(4) est un nombre, tandis que f est le nom de la fonction. Dire « f(4) est l’antécédent de 11 » est faux : f(4) vaut justement 11. Une fonction impose une règle essentielle : un même antécédent ne peut pas avoir deux images différentes. En revanche, une même image peut avoir plusieurs antécédents. Par exemple, si g(x) = x², alors g(3) = 9 et g(−3) = 9. Le nombre 9 a donc deux antécédents : −3 et 3. Certains nombres peuvent aussi n’avoir aucun antécédent. Avec g(x) = x², il n’existe aucun nombre réel x tel que g(x) = −1, car le carré d’un nombre réel est toujours positif ou nul. Dès le départ, habitue-toi à écrire les phrases avec précision : « Les antécédents de 9 par g sont −3 et 3. » C’est la base de ton plan de jeu.

Lire une fonction dans un tableau de valeurs

Ce que tu lis	Ce que tu cherches	Réponse correcte
h(−2) = 5	L’image de −2	L’image de −2 par h est 5.
h(1) = 0	Un antécédent de 0	1 est un antécédent de 0 par h.
h(−2) = 5 et h(4) = 5	Les antécédents de 5	Les antécédents de 5 par h sont −2 et 4.
Aucune valeur du tableau n’a pour image 7	Un antécédent de 7 parmi les valeurs données	7 n’a pas d’antécédent parmi les valeurs du tableau.

Méthode de lecture dans un tableau

Lis d’abord exactement ce qui est demandé. « L’image de −1 » te demande de partir de −1 ; « un antécédent de 6 » te demande de repérer où apparaît 6 comme résultat.
Pour une image, repère la colonne ou la ligne contenant le nombre de départ, puis lis la valeur associée par la fonction.
Pour un antécédent, cherche le nombre demandé parmi les images, puis relève toutes les valeurs de départ correspondantes.
Vérifie toute la ligne ou toute la colonne : une image peut apparaître plusieurs fois. T’arrêter au premier nombre trouvé peut te faire oublier un antécédent.
Si le tableau ne donne qu’une partie des valeurs possibles, écris « parmi les valeurs proposées » lorsque c’est nécessaire. Le tableau seul ne permet pas toujours d’affirmer qu’il n’existe aucun autre antécédent.

La bonne traduction mathématique

Pour chercher les antécédents du nombre k par une fonction f, tu cherches les nombres x vérifiant f(x) = k. Cette égalité est valable quelle que soit la façon dont la fonction est donnée : tableau, graphique, programme de calcul ou expression algébrique. Elle ne dit pas qu’il existe forcément une solution : selon la fonction et le nombre k, il peut y avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Sur un graphique : partir de l’image et revenir vers les abscisses

Lorsqu’une fonction est représentée par une courbe dans un repère, l’abscisse d’un point de la courbe est un antécédent et son ordonnée est l’image correspondante. Pour lire l’image d’un nombre a, tu pars de a sur l’axe horizontal, tu montes ou tu descends verticalement jusqu’à la courbe, puis tu lis l’ordonnée du point obtenu. Pour lire les antécédents d’un nombre b, tu fais le trajet inverse : pars de b sur l’axe vertical, trace mentalement ou à la règle une droite horizontale jusqu’à la courbe, puis projette chaque point de rencontre verticalement sur l’axe des abscisses. Toutes les abscisses lues sont les antécédents de b. Le mot-clé est horizontal : chercher les antécédents de 2 revient à chercher les points de la courbe d’ordonnée 2. Une droite horizontale peut ne couper la courbe nulle part : 2 n’a alors aucun antécédent. Elle peut la toucher ou la couper une seule fois : 2 possède un seul antécédent. Elle peut la couper à plusieurs endroits : il faut relever toutes les abscisses. Sur une courbe en forme de U, une même hauteur est souvent atteinte à gauche et à droite ; tes yeux doivent balayer toute la fenêtre du repère. Si la graduation ne permet pas une lecture exacte, annonce une valeur approchée avec le signe ≈. Par exemple : « Les antécédents de 3 sont environ −1,4 et 2,1. » N’écris pas une égalité exacte si ton résultat provient seulement d’une lecture graphique. Attention aussi au domaine représenté : une courbe dessinée seulement entre x = −3 et x = 5 ne renseigne que sur cette portion. Tu ne peux pas conclure sur des valeurs qui ne figurent pas dans le graphique. Dernier contrôle utile : pour un antécédent lu x ≈ 2, vérifie que le point de la courbe situé à l’abscisse 2 est bien à la hauteur demandée.

Graphique à lire : une fonction affine

Le graphique représente la fonction u définie par u(x) = −x + 3. Lis d’abord, sans calcul : quelle est l’image de −2 ? Quels sont les antécédents de 1 ? Quel est l’antécédent de 0 ? Utilise les graduations du repère et garde bien le sens de lecture : vertical pour une image, horizontal pour un antécédent.

Corrigé de la lecture graphique

Pour l’image de −2, je pars de −2 sur l’axe des abscisses puis je monte jusqu’à la droite. Je lis l’ordonnée 5 : u(−2) = 5. Pour les antécédents de 1, je pars de 1 sur l’axe des ordonnées et je me déplace horizontalement jusqu’à la droite. Le point rencontré a pour abscisse 2 : 2 est l’unique antécédent de 1 par u. Enfin, pour chercher l’antécédent de 0, je suis l’horizontale d’ordonnée 0, c’est-à-dire l’axe des abscisses. La droite le coupe en 3 : 3 est l’antécédent de 0 par u. Ce graphique est une droite non horizontale : chaque hauteur représentée est donc atteinte une seule fois.

Avec une expression : résoudre une équation

Quand la fonction est définie par une formule, chercher les antécédents de k consiste à résoudre l’équation f(x) = k. Si f(x) = 3x − 5, cherchons les antécédents de 7. Tu remplaces f(x) par son expression : 3x − 5 = 7. Ajoute 5 aux deux membres : 3x = 12. Divise les deux membres par 3 : x = 4. Donc 4 est l’unique antécédent de 7 par f. C’est le cas le plus courant en 3ᵉ avec les fonctions linéaires et affines. Pour une fonction affine f(x) = ax + b avec a ≠ 0, l’équation ax + b = k possède toujours une seule solution. En effet, tu peux isoler x : ax = k − b, puis x = (k − b) ÷ a. Cette formule doit être utilisée seulement si a ≠ 0, car une division par 0 est impossible. Si a = 0, la fonction est constante : f(x) = b. Dans ce cas, tous les nombres de l’ensemble de définition sont antécédents de b, et aucun nombre n’est antécédent d’une autre image. Exemple : si p(x) = 6, les antécédents de 6 sont tous les nombres pour lesquels p est définie ; 4 n’a aucun antécédent par p. Pour une expression avec un carré, le nombre de solutions peut changer. Avec q(x) = x² − 1, les antécédents de 8 vérifient x² − 1 = 8, donc x² = 9. On obtient x = −3 ou x = 3, car ces deux nombres ont pour carré 9. Écris les deux solutions. En revanche, chercher les antécédents de −2 donne x² − 1 = −2, donc x² = −1 : il n’y a pas de solution réelle. Ne force jamais un résultat. La cohérence compte : un carré ne peut pas être négatif.

Reste dans les fonctions étudiées en 3ᵉ

Pour cette notion, entraîne-toi surtout à lire des tableaux et des graphiques, ainsi qu’à résoudre des équations simples liées aux fonctions linéaires et affines. Les expressions avec fractions et les valeurs interdites ne constituent pas le cœur attendu ici : elles peuvent apparaître dans un approfondissement, mais elles ne doivent pas remplacer la maîtrise des fonctions affines. Priorité donc à la traduction f(x) = k, à la lecture graphique et à la résolution d’équations du premier degré.

Rédaction finale et vérification

Traduis la question par une égalité : « Je cherche les x tels que f(x) = k. »
Écris les transformations de l’équation ligne par ligne. Une égalité reste vraie seulement si tu effectues la même opération aux deux membres.
Indique clairement toutes les solutions, puis réponds avec le vocabulaire de la question : « Les antécédents de k par f sont … »
Vérifie en remplaçant x par chaque valeur trouvée. Si f(4) = 7, alors 4 est bien un antécédent de 7.
Distingue « un antécédent » et « les antécédents ». Si plusieurs solutions existent, une réponse incomplète n’est pas correcte. Coach Vince te le rappelle : en finale, tu contrôles chaque solution avant de la valider.

Au brevet, on te demande…

Les antécédents peuvent être mobilisés dans des exercices sur les fonctions, notamment pour lire une représentation graphique, exploiter un tableau ou résoudre une équation affine. Le DNB ne fixe pas de poids officiel par notion : entraîne-toi à cette compétence comme à l’ensemble du programme.

Type de question: Lecture graphique à justifier, calcul d’antécédent par résolution d’équation et question d’automatismes.
Exemple type: La fonction f est définie par f(x) = 4x − 7. Détermine, en détaillant les calculs, l’antécédent de 13 par f.
Alerte piège au brevet: Confondre l’abscisse et l’ordonnée sur un graphique, ou oublier une seconde solution lorsque la même hauteur coupe la courbe plusieurs fois.

Exemples résolus

Retrouver tous les antécédents dans un tableau

Énoncé. Une fonction m est donnée par les valeurs suivantes : m(−4) = 2, m(−1) = 5, m(0) = 2, m(3) = 7 et m(6) = 5. Détermine les antécédents de 5 parmi les valeurs données.

Je cherche les nombres x tels que m(x) = 5.
Dans les valeurs données, je repère m(−1) = 5 et m(6) = 5.
Je vérifie toutes les valeurs : aucune autre image n’est égale à 5.

Résultat : Les antécédents de 5 par m, parmi les valeurs données, sont −1 et 6.

Résoudre une équation affine

Énoncé. La fonction f est définie par f(x) = −2x + 9. Détermine l’antécédent de 1.

Je cherche x tel que f(x) = 1.
Je remplace f(x) par son expression : −2x + 9 = 1.
Je soustrais 9 aux deux membres : −2x = −8.
Je divise les deux membres par −2 : x = 4.
Je vérifie : f(4) = −2 × 4 + 9 = −8 + 9 = 1.

Résultat : 4 est l’unique antécédent de 1 par f.

Deux antécédents avec un carré

Énoncé. La fonction g est définie par g(x) = x² − 4. Détermine les antécédents de 12.

Je cherche les nombres x tels que g(x) = 12.
Je résous x² − 4 = 12.
J’ajoute 4 aux deux membres : x² = 16.
Les nombres dont le carré vaut 16 sont −4 et 4.
Je vérifie : g(−4) = 16 − 4 = 12 et g(4) = 16 − 4 = 12.

Résultat : Les antécédents de 12 par g sont −4 et 4.

Traduis avant de calculer

Commence par écrire f(x) = k : tu montres ce que tu cherches avant de manipuler les nombres. Cette ligne évite les inversions entre image et antécédent.

Termine par une phrase mathématique

Après le calcul, vérifie la valeur obtenue dans l’expression de la fonction. Conclus avec « est un antécédent de » ou « les antécédents sont ».

Ta séance d'entraînement

Vocabulaire express

★☆☆

Complète chaque phrase avec « image » ou « antécédent ».

Si f(2) = 9, alors 9 est l’_____ de 2 par f.
Si f(2) = 9, alors 2 est un _____ de 9 par f.
Si g(−5) = 0, alors −5 est un _____ de 0 par g.

Voir le corrigé

image Explication : On part de 2 et on obtient 9.
antécédent Explication : On cherche le nombre de départ qui donne 9.
antécédent Explication : Le nombre −5 a pour image 0.

Lecture dans un tableau

★☆☆

Détermine les réponses à partir des valeurs suivantes : h(−3) = 4, h(0) = 1, h(2) = 4 et h(5) = −2.

Donne l’image de 5 par h.
Donne les antécédents de 4 par h parmi les valeurs données.
Indique si 1 a un antécédent parmi les valeurs données.

Voir le corrigé

L’image de 5 par h est −2. Explication : On lit directement h(5) = −2.
Les antécédents de 4 par h sont −3 et 2. Explication : Les deux égalités h(−3) = 4 et h(2) = 4 conviennent.
Oui, 0 est un antécédent de 1 par h. Explication : On lit h(0) = 1.

Réflexes de fonction

★☆☆

Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse.

Une même image peut avoir deux antécédents.
Un même antécédent peut avoir deux images différentes par une fonction.
Chercher les antécédents de 6 par f revient à résoudre f(x) = 6.

Voir le corrigé

Vrai. Explication : Plusieurs nombres de départ peuvent produire le même résultat.
Faux. Explication : Une fonction donne une image unique pour chaque antécédent admis.
Vrai. Explication : C’est la traduction exacte de la question.

Équations affines

★★☆

Détermine l’antécédent demandé en détaillant les étapes de calcul.

f(x) = 3x + 2. Cherche l’antécédent de 17.
g(x) = −4x + 1. Cherche l’antécédent de 13.

Voir le corrigé

3x + 2 = 17, donc 3x = 15, puis x = 5. L’antécédent de 17 par f est 5. Explication : La vérification donne f(5) = 17.
−4x + 1 = 13, donc −4x = 12, puis x = −3. L’antécédent de 13 par g est −3. Explication : La vérification donne g(−3) = 13.

Combien d’antécédents ?

★★☆

Résous chaque équation et conclus sur les antécédents.

p(x) = x² + 2. Cherche les antécédents de 11.
p(x) = x² + 2. Cherche les antécédents de 1.

Voir le corrigé

x² + 2 = 11, donc x² = 9. x = −3 ou x = 3. Les antécédents de 11 par p sont −3 et 3. Explication : Les carrés de −3 et de 3 valent 9.
x² + 2 = 1, donc x² = −1. Il n’y a pas de solution réelle : 1 n’a pas d’antécédent par p. Explication : Un carré réel ne peut pas être négatif.

Cas particulier

★★☆

Analyse la fonction c définie par c(x) = −4.

Détermine les antécédents de −4, puis indique si 0 a un antécédent par c.

Voir le corrigé

Comme c(x) = −4 pour tout nombre x de l’ensemble de définition, tous ces nombres sont des antécédents de −4 par c. En revanche, c(x) ne vaut jamais 0 ; 0 n’a donc aucun antécédent par c. Explication : Une fonction constante garde toujours la même image.

Valeur interdite

★★★

Résous en tenant compte des valeurs interdites.

r(x) = 6 ÷ (x + 1). Cherche l’antécédent de 2.
Indique si −1 possède une image par r.

Voir le corrigé

x ≠ −1. Je résous 6 ÷ (x + 1) = 2. Donc 6 = 2(x + 1), puis 6 = 2x + 2, donc 2x = 4 et x = 2. Comme 2 ≠ −1, il est admis. L’antécédent de 2 par r est 2. Explication : Le dénominateur ne doit jamais être nul.
Non. r(−1) = 6 ÷ 0, or une division par 0 n’est pas définie. Explication : Le nombre −1 est exclu du domaine de définition.

Rédaction de finale

★★★

Rédige une solution complète et vérifie ton résultat.

La fonction s est définie par s(x) = 5 − 3x. Détermine l’antécédent de −7 par s.

Voir le corrigé

Je cherche x tel que s(x) = −7. Donc 5 − 3x = −7. En soustrayant 5 aux deux membres, j’obtiens −3x = −12. En divisant par −3, j’obtiens x = 4. Vérification : s(4) = 5 − 3 × 4 = 5 − 12 = −7. Donc 4 est l’antécédent de −7 par s. Explication : La conclusion reprend exactement le vocabulaire demandé.

Évaluation

Réponds avec des calculs ou une justification lorsque cela est demandé. Soigne les phrases de conclusion. Barème : 20 points

La fonction f vérifie f(−2) = 6 et f(3) = 6. Donne les antécédents de 6 par f./ 2
Explique la différence entre l’image de 4 et un antécédent de 4./ 3
La fonction g est définie par g(x) = 7x − 1. Détermine l’antécédent de 20./ 4
La fonction h est définie par h(x) = x² − 5. Détermine les antécédents de 11./ 4
La fonction p est définie par p(x) = x² + 3. Le nombre 1 a-t-il un antécédent par p ? Justifie./ 3
La fonction r est définie par r(x) = 8 ÷ (x − 1). Détermine l’antécédent de 4 et précise la valeur interdite./ 4

Voir le corrigé de l'évaluation

Les antécédents de 6 par f sont −2 et 3. (2 pts)
L’image de 4 est le nombre f(4). Un antécédent de 4 est un nombre x qui vérifie f(x) = 4. (3 pts)
Je cherche x tel que g(x) = 20. 7x − 1 = 20, donc 7x = 21, puis x = 3. L’antécédent de 20 par g est 3. (4 pts)
x² − 5 = 11, donc x² = 16. x = −4 ou x = 4. Les antécédents de 11 par h sont −4 et 4. (4 pts)
Je cherche x tel que x² + 3 = 1. Cela donne x² = −2. Cette équation n’a pas de solution réelle car le carré d’un nombre réel est positif ou nul. Donc 1 n’a pas d’antécédent par p. (3 pts)
La valeur interdite est 1, car x − 1 ne doit pas être nul. Je résous 8 ÷ (x − 1) = 4 : 8 = 4(x − 1), donc 8 = 4x − 4, puis 4x = 12 et x = 3. Comme 3 ≠ 1, l’antécédent de 4 par r est 3. (4 pts)

Erreurs fréquentes

Erreur à éviter	Pourquoi	Le bon réflexe
Répondre par une image alors que la question demande un antécédent.	Tu lis la fonction dans le mauvais sens : l’image se lit de x vers f(x), l’antécédent se cherche de f(x) vers x.	Écris l’égalité à résoudre : pour les antécédents de k, cherche f(x) = k.
Ne donner qu’un seul antécédent après une lecture graphique.	Une droite horizontale peut rencontrer la courbe plusieurs fois.	Balaye tout le graphique à la hauteur demandée et relève chaque point d’intersection.
Écrire x = 3 seulement après x² = 9.	Le carré de −3 vaut aussi 9.	Quand x² = a avec a positif, cherche les deux nombres opposés dont le carré vaut a.
Diviser par un nombre sans vérifier qu’il n’est pas nul.	Une division par 0 n’existe pas et certains cas particuliers sont alors oubliés.	Pour une fonction constante, traite séparément le cas où le coefficient de x vaut 0.

Guide pour les parents

Faites reformuler la différence entre image et antécédent avant de regarder les calculs.

Demandez à votre adolescent de traduire oralement une question par une égalité du type f(x) = k, puis laissez-le résoudre sans donner l’opération suivante.
Pour une lecture graphique, faites-lui décrire son trajet sur le repère : horizontal depuis l’ordonnée demandée, puis vertical vers les abscisses.
À la fin, demandez une vérification par remplacement et une phrase de conclusion complète plutôt qu’une réponse réduite à un nombre.

Temps conseillé : ~20 min.

Questions fréquentes

Une image peut-elle avoir plusieurs antécédents ?

Oui. Par exemple, pour la fonction x ↦ x², 9 a pour antécédents −3 et 3.

Un antécédent peut-il avoir plusieurs images ?

Non. Une fonction associe obligatoirement une seule image à chaque antécédent pour lequel elle est définie.

Comment trouve-t-on les antécents sur une courbe ?

Pars de l’ordonnée demandée sur l’axe vertical, suis une direction horizontale jusqu’à la courbe, puis lis toutes les abscisses des points rencontrés.

Pourquoi dois-je écrire une valeur approchée sur un graphique ?

Si la graduation ne permet pas de lire une valeur exacte, la lecture est seulement approchée. Utilise alors le signe ≈.

Que faire si l’équation obtenue n’a pas de solution ?

Conclue simplement que le nombre demandé n’a pas d’antécédent dans l’ensemble étudié.

Teste-toi avec Coach Vince

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