Lire les antécédents sur un graphique en 3ᵉ : cours, exercices et méthode pour le brevet

Comprendre ce que cherche la question

Une fonction associe à un nombre de départ, noté souvent x, un nombre d’arrivée, noté f(x). Si f(3) = 5, alors 3 est un antécédent de 5 par la fonction f. Le nombre 5 est l’image de 3. Ces deux mots décrivent donc une relation inverse : l’image se cherche en partant d’une abscisse ; l’antécédent se cherche en partant d’une ordonnée. Sur un graphique, la courbe représente l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)). Ainsi, dire que 4 est un antécédent de −2 revient à dire que le point de la courbe d’abscisse 4 a pour ordonnée −2. La phrase f(4) = −2 traduit exactement cette lecture. Attention au sens des mots : « l’image de 4 » appelle une réponse sur l’axe vertical, tandis que « un antécédent de −2 » appelle une réponse sur l’axe horizontal. Coach Vince te demande de repérer le mot-clé avant même de regarder la courbe. C’est ton échauffement : image, tu lis verticalement à partir de x ; antécédent, tu lis horizontalement à partir de y.

Deux lectures opposées sur une même courbe

La méthode de lecture, sans sauter d’étape

• Lis précisément la question. Si elle contient « antécédent de a », ton objectif est de résoudre graphiquement f(x) = a.
• Repère le nombre a sur l’axe des ordonnées. Vérifie l’échelle : une graduation peut représenter plusieurs unités ou une fraction d’unité.
• Imagine ou trace à la règle une droite horizontale passant par l’ordonnée a. Cette droite a pour équation y = a.
• Repère chaque point où cette droite rencontre la courbe représentative de f. Balaye le graphique de gauche à droite pour n’en oublier aucun.
• Depuis chaque point d’intersection, descends verticalement jusqu’à l’axe des abscisses. Lis l’abscisse avec le degré de précision permis par le dessin.
• Rédige une réponse complète. Par exemple : « Les antécédents de 2 par f sont −3 et 1. » Si la valeur est approximative, écris « environ » ou le symbole ≈.

Règle de rigueur

Pourquoi peut-on trouver plusieurs réponses ?

Une fonction donne une seule image à chaque nombre x autorisé : une verticale ne peut donc rencontrer sa courbe qu’en un seul point. En revanche, plusieurs nombres de départ peuvent avoir la même image. Une horizontale peut alors couper la courbe en plusieurs points. Si la droite y = 4 coupe la courbe aux abscisses −2, 1 et 5, alors −2, 1 et 5 sont les trois antécédents de 4. On écrit f(−2) = 4, f(1) = 4 et f(5) = 4. Ne réponds jamais seulement par une des valeurs si la courbe présente plusieurs intersections. À l’inverse, une droite horizontale peut ne rencontrer aucune fois la courbe : le nombre demandé n’a alors aucun antécédent sur l’ensemble représenté. Par exemple, si toute la courbe est située sous la droite y = 6, le nombre 6 n’a pas d’antécédent. Il est aussi possible qu’une droite horizontale touche la courbe en un seul point, notamment au sommet d’une courbe qui monte puis redescend. Dans ce cas, il y a un seul antécédent, même si la courbe change de sens autour de ce point. Le nombre de réponses dépend donc des intersections visibles, pas de ce que tu imagines sur la forme générale de la courbe.

Lire exactement ou donner une valeur approchée

Un graphique n’autorise pas toujours une lecture exacte. Si le point d’intersection tombe exactement sur une graduation identifiée, tu peux donner une valeur exacte : « 2 est un antécédent de −1 ». Si le point se situe entre deux graduations, observe l’échelle et estime sa position. Tu écriras alors, par exemple, « x ≈ 2,4 ». Le symbole ≈ signifie que la valeur est proche, mais non exacte. Ne transforme pas une estimation en égalité : écrire x = 2,4 prétend que le graphique garantit cette précision. La qualité du tracé compte aussi. Une courbe épaisse ou un repère peu gradué limite la précision possible. Dans ce cas, une formulation honnête vaut mieux qu’un chiffre trop précis. Si deux graduations de l’axe horizontal correspondent à 1 unité et que l’intersection est à mi-chemin, tu peux lire 0,5 unité. Si aucune subdivision fiable n’est visible, reste à une approximation plus large. Lors d’une question demandant « donner une valeur approchée au dixième », repère d’abord les deux dixièmes voisins, puis choisis celui dont l’intersection est la plus proche. Ne confonds pas cette lecture graphique avec un calcul algébrique : ici, c’est le dessin qui fixe la précision.

Cas particuliers à maîtriser

• Pour trouver les antécédents de 0, utilise l’axe des abscisses, car cet axe est la droite y = 0. Les réponses sont les abscisses des points où la courbe coupe ou touche cet axe.
• Si la courbe passe par l’origine O, alors 0 est à la fois l’image de 0 et un antécédent de 0 : f(0) = 0.
• Si la question porte sur les antécédents dans un intervalle, ne garde que les intersections dont les abscisses appartiennent à cet intervalle.
• Si la courbe est dessinée seulement pour certaines abscisses, tu ne peux conclure que sur la partie représentée. Ne prolonge pas mentalement la courbe hors du cadre.
• Si un point est dessiné plein, il appartient à la courbe. Si un point est non rempli dans une représentation particulière, observe attentivement la consigne avant de l’utiliser.
• Si une portion de courbe est horizontale et confondue avec y = a, tous les nombres de l’intervalle correspondant sont des antécédents de a. Il n’y a alors pas une liste finie de réponses.

Passer du graphique à une rédaction de brevet

Au brevet, une question peut demander : « Résoudre graphiquement f(x) = 2 » ou « Déterminer les antécédents de 2 par f ». Ces formulations demandent la même lecture. Tu cherches les abscisses des intersections entre la courbe et la droite y = 2. Dans ta copie, évite une réponse isolée telle que « −1 et 3 ». Rédige une phrase qui nomme l’objet mathématique : « La droite d’équation y = 2 coupe la courbe représentative de f en deux points d’abscisses −1 et 3. Donc les antécédents de 2 par f sont −1 et 3. » Cette rédaction prouve que tu sais interpréter ce que tu lis. Si le graphique donne des valeurs approximatives, adapte la conclusion : « On lit environ −1,2 et 2,8. » Vérifie enfin la cohérence : chaque valeur annoncée doit être lue sur l’axe horizontal, et leur nombre doit correspondre au nombre d’intersections. Cette vérification finale prend peu de temps et évite la confusion la plus fréquente. Ta finale est simple : horizontal pour chercher les points, vertical pour lire les x, puis une phrase claire.