Effectifs cumulés croissants en 3ᵉ : cours, exercices et méthode pour le brevet

Comprendre ce que compte un effectif cumulé

Dans une série statistique, on observe un caractère sur plusieurs individus. Le caractère peut être quantitatif, par exemple un nombre de livres lus, une durée ou une taille. Les différentes valeurs possibles du caractère sont rangées dans l'ordre croissant. À chaque valeur correspond un effectif : c'est le nombre d'individus qui possèdent exactement cette valeur. L'effectif total, souvent noté N, est la somme de tous les effectifs. Un effectif cumulé croissant, ou ECC, ne compte pas seulement les individus ayant une valeur précise. Il compte tous les individus dont la valeur est inférieure ou égale à la valeur considérée. Le mot « croissant » donne le sens du calcul : tu pars de la plus petite valeur et tu ajoutes les effectifs un à un. L'ECC associé à la première valeur est donc son effectif. Ensuite, chaque nouvel ECC est égal à l'ECC précédent augmenté de l'effectif de la ligne. Comme on ajoute des nombres positifs ou nuls, les ECC ne peuvent jamais diminuer. Le dernier ECC est obligatoirement égal à l'effectif total N. C'est ton premier contrôle de cohérence. Attention à ne pas confondre l'effectif de 4, qui répond à « combien ont exactement 4 ? », et l'ECC de 4, qui répond à « combien ont 4 ou moins ? ». Ces deux nombres ont des rôles différents. Le premier décrit une catégorie exacte ; le second résume l'accumulation de toutes les catégories jusqu'à cette valeur. Coach Vince te demande de lire soigneusement les mots « exactement », « au plus », « inférieur ou égal » et « au moins » : ils déterminent le calcul à faire.

Construire un tableau d'effectifs cumulés croissants

La méthode de calcul, sans saut d'étape

• Range d'abord les valeurs du caractère dans l'ordre croissant. Cette condition est indispensable : sans cet ordre, le cumul croissant n'a pas de sens.
• Calcule l'effectif total N en additionnant tous les effectifs. Dans le tableau, N = 3 + 5 + 7 + 4 + 1 = 20.
• Recopie l'effectif de la première valeur dans la colonne des ECC. Ici, l'ECC de 0 vaut 3.
• Pour chaque ligne suivante, ajoute l'effectif de la ligne à l'ECC précédent. Ainsi, l'ECC de 2 vaut 8 + 7 = 15.
• Vérifie que le dernier ECC est N. Ici, 20 est bien l'effectif total : le cumul est cohérent.
• Interprète chaque résultat avec les mots justes. L'ECC de 2 égal à 15 signifie que 15 individus ont lu au plus 2 livres, donc 2 livres ou moins. Il ne signifie pas que 15 individus ont lu exactement 2 livres.

Le vocabulaire à verrouiller

Lire des informations et calculer des effectifs complémentaires

Un tableau d'ECC permet de répondre rapidement à plusieurs questions, à condition de traduire précisément la phrase. Si l'on demande le nombre d'individus ayant une valeur inférieure ou égale à 3, tu lis directement l'ECC de 3. Dans le tableau, il vaut 19 : 19 individus ont lu au plus 3 livres. Si l'on demande le nombre d'individus ayant une valeur strictement supérieure à 2, l'ECC de 2 compte tous ceux qui ont 2 ou moins. Il faut donc faire N − ECC de 2. Ici, 20 − 15 = 5 : cinq individus ont lu plus de 2 livres. Pour « au moins 3 », attention au seuil : les personnes ayant 3 doivent être incluses. Tu retires alors celles ayant strictement moins de 3. Dans une série de valeurs entières, « strictement moins de 3 » signifie 2 ou moins ; tu utilises donc l'ECC de 2. Le calcul est 20 − 15 = 5. Pour « entre 1 et 3 inclus », tu comptes les individus ayant 1, 2 ou 3. L'ECC de 3 compte ceux qui ont 3 ou moins, mais aussi ceux qui ont 0. Il faut retirer l'ECC de la valeur immédiatement inférieure à 1, ici 0. On obtient 19 − 3 = 16. Cette soustraction fonctionne lorsque les bornes sont présentes dans une série de valeurs discrètes ordonnées. Écris toujours ce que représente chaque nombre avant de soustraire. Tu éviteras le réflexe dangereux consistant à choisir deux nombres du tableau sans savoir qui ils comptent. Une réponse statistique n'est complète que si son unité ou son groupe est annoncé : « 5 individus », et non seulement « 5 ».

Repérer une médiane grâce aux cumulés

La médiane partage une série ordonnée en deux groupes d'effectifs aussi proches que possible : environ la moitié des données est inférieure ou égale à la médiane, et environ la moitié lui est supérieure ou égale. Les ECC permettent de la localiser sans écrire toutes les valeurs une par une. Quand l'effectif total N est impair, la médiane est la valeur de rang (N + 1) ÷ 2 dans la série rangée. Quand N est pair, la méthode scolaire habituelle consiste à calculer la moyenne des valeurs de rang N ÷ 2 et N ÷ 2 + 1. Dans le tableau précédent, N = 20. Les rangs centraux sont donc le 10e et le 11e rang. L'ECC de 1 vaut 8 : les huit premières valeurs sont 0 ou 1. L'ECC de 2 vaut 15 : les rangs du 9e au 15e correspondent à la valeur 2. Les valeurs de rang 10 et 11 sont donc toutes deux égales à 2. La médiane est 2. Ne confonds pas la médiane avec la moyenne : la moyenne utilise toutes les valeurs et leurs effectifs, tandis que la médiane dépend des rangs après rangement. Sur un graphique d'effectifs cumulés croissants, tu peux aussi repérer la moitié de l'effectif total sur l'axe vertical, rejoindre la courbe puis lire une valeur approchée sur l'axe horizontal. Cette lecture graphique donne parfois une approximation ; indique alors le symbole ≈ si la précision du graphique ne permet pas une valeur exacte. Pour une série regroupée en classes, les ECC restent utiles pour situer la classe médiane, mais ils ne donnent pas toujours une médiane exacte : tout dépend des informations disponibles dans l'énoncé.

Les contrôles qui sauvent ta copie

Passer d'un tableau à un graphique cumulé

Un graphique d'effectifs cumulés croissants représente les valeurs du caractère sur l'axe horizontal et les ECC sur l'axe vertical. Chaque point placé a pour coordonnées une valeur et l'ECC correspondant. Dans le tableau, tu placerais par exemple le point de coordonnées (2 ; 15). Les points sont ensuite reliés si l'énoncé demande une courbe cumulative. Avant toute lecture, observe l'échelle des deux axes : une graduation peut représenter plusieurs unités. Pour déterminer combien d'individus ont une valeur inférieure ou égale à une valeur donnée, pars de cette valeur sur l'axe horizontal, monte jusqu'à la courbe, puis va vers l'axe vertical. Pour estimer une médiane, pars de la moitié de N sur l'axe vertical, va horizontalement jusqu'à la courbe, puis redescends vers l'axe horizontal. Tu dois employer le mot « environ » si la lecture se situe entre deux graduations ou si le tracé ne permet pas une lecture certaine. Un graphique cumulé n'est pas un diagramme en bâtons : sa hauteur représente un total accumulé. La courbe monte ou reste horizontale ; elle ne descend jamais. Si elle descend, il y a une erreur de calcul, de placement ou de lecture. Garde ce réflexe pour la finale : vérifie l'ordre des valeurs, le dernier cumul et le sens de chaque question avant de calculer.