Cours sur les fonctions en 3ᵉ : exercices et méthode pour le brevet

Comprendre la machine fonction

Une fonction est une règle qui associe à chaque nombre x choisi au départ un unique nombre obtenu à l’arrivée. On note souvent cette fonction f, g ou h. L’écriture f(x) se lit « f de x » et désigne l’image de x par la fonction f. Attention : f(x) n’est pas un produit entre f et x. Si f(x) = 3x − 2, alors f(4) = 3 × 4 − 2 = 10. Le nombre 10 est l’image de 4. On peut aussi dire que 4 est un antécédent de 10 par f. Ces deux mots ne jouent pas le même rôle : pour chercher une image, tu connais le nombre de départ ; pour chercher un antécédent, tu connais le résultat. Une fonction peut être présentée par une phrase, un programme de calcul, une formule, un tableau de valeurs ou une courbe. Ces écritures décrivent la même relation, à condition qu’elles donnent les mêmes associations. Dans un tableau, la ligne des x contient les nombres de départ et la ligne de f(x) contient leurs images. Sur un graphique, x se lit sur l’axe horizontal, appelé axe des abscisses ; f(x) se lit sur l’axe vertical, appelé axe des ordonnées. Le point de coordonnées (x ; f(x)) appartient alors à la courbe représentative de f. Par exemple, si le point A(2 ; 5) est sur la courbe de f, tu peux écrire f(2) = 5. En revanche, écrire f(5) = 2 inverserait l’antécédent et l’image. Une même image peut avoir plusieurs antécédents. La fonction définie par g(x) = x² donne par exemple g(3) = 9 et g(−3) = 9 : 9 a donc deux antécédents, 3 et −3. En revanche, un même nombre de départ ne peut jamais avoir deux images différentes. C’est la condition essentielle pour parler de fonction. Garde ce vocabulaire net : c’est le premier appui de ton raisonnement.

Calculer une image et rechercher un antécédent

Reconnaître les écritures et les utiliser

Fonctions linéaires et affines : ton plan de jeu

• Une fonction linéaire est de la forme f(x) = ax, où a est un nombre fixe appelé coefficient de proportionnalité. Elle traduit obligatoirement une situation de proportionnalité : lorsque x est multiplié par un nombre non nul, f(x) est multipliée par ce même nombre.
• La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe obligatoirement par l’origine du repère O(0 ; 0). Cette propriété est valable uniquement pour une fonction de la forme ax. Une droite qui ne passe pas par l’origine ne représente pas une fonction linéaire.
• Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b. Le nombre a est le coefficient directeur : il indique le sens et le rythme de variation. Si a est positif, la fonction est croissante ; si a est négatif, elle est décroissante ; si a = 0, elle est constante.
• Le nombre b est l’ordonnée à l’origine, car f(0) = b. La droite représentative coupe donc l’axe vertical au point de coordonnées (0 ; b). Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine : elle correspond au cas b = 0.
• Pour déterminer la formule d’une fonction affine à partir de deux points distincts A(xA ; yA) et B(xB ; yB), calcule d’abord a = (yB − yA) ÷ (xB − xA). Cette formule est utilisable seulement si xB ≠ xA, donc si les deux points n’ont pas la même abscisse. Ensuite, remplace x et y par les coordonnées d’un des deux points dans y = ax + b pour trouver b.
• Exemple : une droite passe par C(1 ; 4) et D(3 ; 10). Son coefficient directeur vaut (10 − 4) ÷ (3 − 1) = 6 ÷ 2 = 3. Avec le point C, 4 = 3 × 1 + b, donc b = 1. L’équation est y = 3x + 1. Vérification avec D : 3 × 3 + 1 = 10. Le calcul est cohérent.
• Pour construire la droite de y = −2x + 3, place d’abord le point d’ordonnée à l’origine (0 ; 3). Puis utilise le coefficient directeur −2 : quand tu avances de 1 en abscisse, tu descends de 2 en ordonnée. Tu obtiens par exemple le point (1 ; 1). Trace ensuite la droite passant par ces deux points.

Lire, comparer et modéliser sans te tromper

Une courbe permet de comparer des images ou des antécédents, mais une lecture graphique reste souvent approximative. Lis soigneusement l’échelle : une graduation ne vaut pas forcément 1. Si la question demande une valeur exacte et que la formule est fournie, calcule avec la formule ; n’utilise pas une lecture sur le graphique. Si la question demande une valeur approchée, indique le signe ≈. Pour comparer f(a) et f(b), repère les deux ordonnées associées aux abscisses a et b. Si f(a) est plus haut que f(b), alors f(a) > f(b). Une fonction est croissante sur un intervalle lorsque, dans cet intervalle, les images augmentent quand les nombres de départ augmentent. Elle est décroissante lorsque les images diminuent. Cette idée se lit de gauche à droite sur la courbe. Une courbe peut monter puis descendre : il faut alors préciser l’intervalle étudié et ne jamais annoncer qu’elle est croissante partout. Dans un problème concret, définis d’abord clairement la variable. Par exemple, si x représente une durée en heures et que C(x) représente un coût en euros, la formule C(x) = 1,5x + 4 signifie un coût fixe de 4 euros, auquel s’ajoute 1,5 euro par heure. La valeur x doit respecter le contexte : une durée ne peut pas être négative. Une formule peut donc être correcte algébriquement tout en donnant une valeur sans sens dans la situation. Pour finir une réponse, formule une phrase avec les unités : « Pour 6 heures, le coût est de 13 euros. » Vérifie aussi l’ordre de grandeur. Si un coût fixe est positif et que le tarif horaire est positif, le coût doit augmenter lorsque la durée augmente. Si ton calcul produit l’inverse, reprends la série de calculs. Au brevet, une réponse lisible associe toujours la notation mathématique, le calcul et l’interprétation. C’est de la rigueur, pas du décor.