Coefficient de réduction en 3ᵉ : cours, exercices et méthode pour le brevet

Reconnaître une réduction

Une réduction transforme une figure en une figure de même forme, mais plus petite. Les angles correspondants gardent la même mesure et les côtés correspondants restent proportionnels. Le nombre qui relie les longueurs s’appelle le coefficient de réduction, souvent noté k. Pour qu’il s’agisse bien d’une réduction, il faut que 0 < k < 1. Si k vaut 1, la figure conserve sa taille : ce n’est ni une réduction ni un agrandissement. Si k est supérieur à 1, on obtient un agrandissement. Tu dois donc toujours observer le sens de la transformation avant de calculer.

Dire qu’une figure est réduite avec le coefficient k signifie que chaque longueur de la figure réduite est égale à la longueur correspondante de la figure initiale multipliée par k. Si un segment mesure 15 cm avant réduction et que k vaut 0,4, son image mesure 15 × 0,4 = 6 cm. Le même coefficient doit fonctionner pour tous les segments correspondants : un côté, une hauteur, un diamètre, un rayon ou une arête. Il ne dépend pas de la direction du segment.

Attention au vocabulaire. La figure initiale est celle dont on part. La figure réduite est celle qu’on obtient. Deux longueurs sont correspondantes lorsqu’elles occupent la même position dans les deux figures. Par exemple, dans deux triangles de même forme, le côté opposé au plus grand angle du premier triangle correspond au côté opposé au plus grand angle du second. Ne compare jamais deux côtés choisis au hasard : ton calcul n’aurait alors aucune valeur. Coach Vince te demande un premier réflexe : nomme les deux figures et repère les éléments correspondants avant de poser une opération.

Ton plan de calcul en quatre actions

• 1. Lis le sens de la transformation. Si tu passes de la grande figure à la petite, tu cherches un coefficient de réduction. Si l’énoncé te fait passer de la petite figure à la grande, tu utilises le coefficient inverse, qui est supérieur à 1. Une même paire de figures peut donc conduire à deux coefficients différents selon le sens demandé.
• 2. Choisis deux longueurs correspondantes. Écris clairement laquelle appartient à la figure réduite et laquelle appartient à la figure initiale. Les unités doivent être identiques avant toute division. Convertis, par exemple, des mètres en centimètres si les deux mesures ne sont pas exprimées dans la même unité.
• 3. Calcule le coefficient. Utilise la relation : coefficient de réduction = longueur réduite ÷ longueur initiale. Si un segment de 18 cm devient un segment de 12 cm, alors k = 12 ÷ 18 = 2 ÷ 3. Comme 2 ÷ 3 est inférieur à 1, le résultat est cohérent avec une réduction.
• 4. Applique ou contrôle. Pour chercher une longueur réduite, multiplie la longueur initiale par k. Pour retrouver une longueur initiale à partir de sa réduction, divise la longueur réduite par k. Vérifie enfin le sens : dans une réduction, toute longueur positive obtenue doit être plus petite que la longueur initiale. Cette vérification rapide évite une erreur de division.

Relation fondamentale et conditions de validité

Ce qui est multiplié lors d’une réduction

Longueurs, aires et volumes : ne mélange pas les puissances

Les longueurs ne sont pas les seules grandeurs modifiées. Lorsqu’une surface est réduite avec le coefficient k, son aire est multipliée par k². Cette règle est valable pour deux surfaces semblables obtenues par une même réduction. Pourquoi un carré apparaît-il ? Une aire dépend de deux dimensions. Si la longueur et la largeur sont toutes deux multipliées par k, leur produit est multiplié par k × k, donc par k².

Exemple : un rectangle de dimensions 12 cm et 5 cm a une aire de 60 cm². Avec k = 0,5, ses dimensions deviennent 6 cm et 2,5 cm. Son aire vaut 6 × 2,5 = 15 cm². On retrouve ce résultat par le coefficient d’aire : 60 × 0,5² = 60 × 0,25 = 15. Multiplier l’aire par 0,5 serait faux : cela ne réduirait qu’une seule dimension.

Pour un solide réduit de manière uniforme, le volume est multiplié par k³. Cette règle est valable lorsque les trois dimensions du solide sont multipliées par le même coefficient. Un pavé droit de dimensions 10 cm, 6 cm et 4 cm a un volume de 240 cm³. Avec k = ½, ses dimensions deviennent 5 cm, 3 cm et 2 cm. Son volume est 5 × 3 × 2 = 30 cm³. Or 240 × ½³ = 240 × ⅛ = 30. Le cube vient des trois dimensions : longueur, largeur et hauteur.

Retiens le classement : une dimension pour les longueurs, deux dimensions pour les aires, trois dimensions pour les volumes. Les unités t’aident à choisir : cm indique une longueur, cm² une aire et cm³ un volume. Si tu obtiens une aire plus grande après une réduction, ou un volume plus grand alors que 0 < k < 1, arrête-toi : ton résultat ne respecte pas le sens de la transformation.

Situations à lire avec précision