Les agrandissements et réductions en 3ᵉ : cours, exercices et méthode pour le brevet

Reconnaître une transformation de taille

Un agrandissement ou une réduction transforme une figure en une figure de même forme, mais pas forcément de même taille. Les angles correspondants gardent la même mesure et les longueurs correspondantes restent proportionnelles. On dit que les deux figures sont semblables. Le nombre qui permet de passer de la figure de départ à la figure image s’appelle le rapport, noté k. Pour une longueur, la règle est : longueur image = k × longueur de départ. Cette règle est valable seulement si les deux figures sont reliées par un agrandissement ou une réduction de rapport k. Si k > 1, la figure image est plus grande : c’est un agrandissement. Si 0 < k < 1, la figure image est plus petite : c’est une réduction. Si k = 1, les dimensions ne changent pas : il ne s’agit ni d’un agrandissement ni d’une réduction effective. Le rapport k est un nombre sans unité. En revanche, les longueurs conservent leur unité : des centimètres restent des centimètres, des mètres restent des mètres. Pour trouver k, tu divises toujours une longueur de l’image par la longueur correspondante de la figure de départ. Par exemple, si un segment de 6 cm devient un segment de 15 cm, k = 15 ÷ 6 = 2,5. Attention au sens : si tu passes de 15 cm à 6 cm, le rapport vaut 6 ÷ 15 = 0,4. Un même dessin peut donc être étudié dans les deux sens, avec deux rapports réciproques.

Le bon coefficient selon la grandeur étudiée

Calculer une longueur sans perdre le sens du rapport

Avant tout calcul, repère les deux figures et décide laquelle est la figure de départ. Ensuite, associe correctement les éléments homologues : les sommets qui portent des angles de même mesure se correspondent, puis les côtés situés entre les mêmes angles se correspondent. Une lettre ou un ordre de sommets donné dans l’énoncé peut aussi t’aider : si le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC, alors A correspond à A’, B à B’ et C à C’. Ne choisis pas deux longueurs au hasard. L’orientation sur la page ne donne aucune règle : une figure semblable peut avoir été tournée ou retournée. Ainsi, un côté horizontal dans une figure peut correspondre à un côté incliné ou vertical dans l’autre dessin. Compare plutôt les angles, les côtés adjacents et les sommets homologues. Écris ensuite le rapport sous la forme k = longueur image ÷ longueur de départ. Une fois k connu, calcule la longueur demandée. Si tu cherches une longueur image, multiplie la longueur de départ par k. Si tu cherches une longueur de départ, divise la longueur image par k. Exemple : un triangle T₁ a un côté de 7 cm. Son image T₂ est obtenue par un agrandissement de rapport 1,8. Le côté correspondant dans T₂ mesure 1,8 × 7 = 12,6 cm. Dans l’autre sens, si le côté de T₂ mesure 12,6 cm, alors celui de T₁ mesure 12,6 ÷ 1,8 = 7 cm. Tu peux aussi utiliser un tableau de proportionnalité, à condition de placer dans une même colonne des grandeurs correspondantes. Cette organisation est utile lorsqu’un énoncé donne plusieurs dimensions. Vérifie enfin la cohérence : après un agrandissement, une longueur positive doit augmenter ; après une réduction, elle doit diminuer. Cette vérification rapide évite de nombreux résultats inversés.

Aires et volumes : la puissance dépend de la dimension

Pourquoi l’aire utilise k² et le volume utilise k³

• Une aire dépend de deux longueurs. Si la longueur et la largeur sont chacune multipliées par k, l’aire est multipliée par k × k, donc par k².
• Le périmètre additionne des longueurs. Il est donc multiplié seulement par k, même pour une figure plane.
• Un volume dépend de trois dimensions. Si longueur, largeur et hauteur sont multipliées par k, le volume est multiplié par k × k × k, donc par k³.
• Pour k = 2, une aire est multipliée par 4 et un volume par 8. Le coefficient ne se transmet donc pas directement aux aires ni aux volumes.

Traiter une situation de maquette ou d’échelle

Les problèmes de maquette utilisent exactement la même idée, mais il faut être très rigoureux sur les unités. Une échelle 1 : 50 signifie que 1 unité sur la maquette correspond à 50 unités dans la réalité. Pour passer du réel à la maquette, on utilise le rapport k = 1 ÷ 50. C’est une réduction. Pour passer de la maquette au réel, on utilise le rapport 50. C’est un agrandissement. Tu dois convertir les mesures dans la même unité avant de calculer. Par exemple, une longueur réelle de 4 m vaut 400 cm. À l’échelle 1 : 50, la longueur sur la maquette vaut 400 ÷ 50 = 8 cm. Si l’on demande l’aire d’une pièce sur un plan, le rapport des aires est différent du rapport des longueurs : avec l’échelle 1 : 50, les aires sont multipliées par 1 ÷ 2 500 pour passer du réel au plan. Dans une question de volume, le rapport devient 1 ÷ 125 000. Tu n’as pas à mémoriser ces grands nombres isolément : calcule k² ou k³ à partir du rapport donné. Lis aussi précisément les mots de l’énoncé. Une surface se mesure en unités d’aire, comme cm² ou m². Une capacité géométrique se mesure en unités de volume, comme cm³ ou m³. Une erreur d’unité peut rendre un raisonnement juste inutilisable.

Construire une rédaction solide

Au brevet, un calcul seul ne suffit pas toujours. Tu dois montrer quelle règle tu utilises et pourquoi elle s’applique. Commence par une phrase précise : « La figure B est l’image de la figure A par un agrandissement de rapport 1,4. » Écris ensuite la relation adaptée : « Les longueurs sont donc multipliées par 1,4. » Puis remplace avec les valeurs et donne l’unité. Pour une aire, annonce explicitement que les aires sont multipliées par k² ; pour un volume, annonce qu’ils sont multipliés par k³. Exemple : une pyramide a un volume de 30 cm³ et subit un agrandissement de rapport 2. « Les volumes étant multipliés par 2³, le volume de la pyramide image est 2³ × 30 = 240 cm³. » N’écris pas seulement « 2 × 30 », car ce serait la règle des longueurs, pas celle des volumes. Dans une figure géométrique, les longueurs de côtés, les rayons, les diamètres, les hauteurs et les diagonales sont toutes des longueurs : elles suivent k. Si un triangle rectangle est agrandi, le théorème de Pythagore reste applicable uniquement parce que le triangle image est encore rectangle. Dans un triangle ABC rectangle en A, l’hypoténuse est [BC], car elle est opposée à l’angle droit. Tu peux calculer une longueur par Pythagore, puis appliquer le rapport, ou appliquer le rapport aux deux côtés connus avant d’utiliser Pythagore. Dans les deux cas, garde la même unité et justifie chaque étape. Voilà ton plan de jeu : identifier les éléments homologues, choisir le sens de k, choisir k, k² ou k³, calculer, contrôler.