La symétrie centrale en 3ᵉ : cours, exercices et méthode pour le brevet

Le demi-tour qui transforme une figure

La symétrie centrale est une transformation géométrique définie par un centre, noté le plus souvent O. Elle envoie chaque point A sur un point A’, appelé image de A. Dire que A’ est l’image de A par la symétrie centrale de centre O signifie exactement que O est le milieu du segment [AA’]. Cette définition contient deux informations indispensables : les points A, O et A’ sont alignés, et les longueurs OA et OA’ sont égales. Si l’une de ces deux conditions manque, la construction est fausse. Visualise un demi-tour : tu fais tourner la figure de 180° autour de O. Le point A se retrouve alors de l’autre côté de O, à la même distance. Contrairement à une symétrie axiale, il n’y a pas de droite-miroir : seul le point O commande la transformation. Le centre O est son propre image, car O est le milieu du segment [OO]. Une figure peut aussi avoir un centre de symétrie : après un demi-tour autour de ce point, elle se superpose exactement à elle-même. Le parallélogramme possède un centre de symétrie, situé à l’intersection de ses diagonales. Le cercle possède pour centre de symétrie son centre. En revanche, un triangle non aplati n’a pas de centre de symétrie : un demi-tour ne le superpose pas à lui-même. Ne confonds pas l’image d’un point et le centre de la transformation. Dans la phrase « A’ est l’image de A par la symétrie de centre O », A est le point de départ, A’ est le point d’arrivée et O est le milieu.

Critère à connaître parfaitement

Construire l’image d’un point : le plan de jeu

• Repère le point A et le centre O. Place ta règle de façon à tracer la droite (AO).
• Mesure la longueur OA au compas, ou lis-la sur le quadrillage. Ne te contente pas d’un placement approximatif.
• Sur la droite (AO), place A’ de l’autre côté de O, avec OA’ = OA. L’ordre des points doit être A, O, A’ ou A’, O, A.
• Vérifie que O est bien entre A et A’. Si A et A’ sont du même côté de O, tu as effectué une erreur de sens.
• Pour une figure, construis séparément l’image de chaque sommet, puis relie les images dans le même ordre. L’image de ABC est A’B’C’, pas une figure dessinée à l’œil.

Ce que conserve la symétrie centrale

Lire une figure et justifier sans saut logique

Une réponse de géométrie doit montrer la règle utilisée. Si l’on te demande de justifier que deux points sont symétriques par rapport à O, ne réponds pas seulement « parce que c’est visible ». Rédige : « Les points A, O et A’ sont alignés et OA = OA’. Donc O est le milieu de [AA’]. Par conséquent, A’ est l’image de A par la symétrie centrale de centre O. » Cette rédaction fonctionne seulement si l’alignement et l’égalité sont établis par les données, par une mesure demandée ou par une propriété déjà démontrée. Lorsque O est le milieu de [AC] et aussi le milieu de [BD], les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu. Tu peux alors conclure que ABCD est un parallélogramme. Cette propriété est souvent associée à la symétrie centrale : dans un parallélogramme, les sommets opposés sont symétriques par rapport au point d’intersection des diagonales. Attention au vocabulaire : les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles et de même longueur ; ils ne sont pas forcément sur la même droite. Si tu connais l’image de A et de B, tu peux identifier l’image de la droite (AB) : c’est la droite (A’B’). Si O appartient à (AB), alors O appartient aussi à (A’B’) et la droite obtenue est la même. Si O n’appartient pas à (AB), les deux droites sont parallèles. Cette distinction évite une conclusion trop rapide. Une symétrie centrale conserve les mesures, mais elle ne conserve généralement pas la position d’une figure : une droite, un segment ou un cercle est déplacé, sauf dans certains cas particuliers liés au centre.

Quadrillage, coordonnées et constructions plus complexes

Sur un quadrillage, la méthode la plus sûre consiste à compter le déplacement de A vers O, puis à reproduire exactement ce déplacement de O vers A’. Si, pour aller de A à O, tu avances de 3 carreaux vers la droite et montes de 2 carreaux, alors pour aller de O à A’ tu avances encore de 3 carreaux vers la droite et montes encore de 2 carreaux. Tu réalises ainsi deux déplacements identiques. Avec des coordonnées, la même idée devient un calcul de milieu. Si A a pour coordonnées (xA ; yA), A’ a pour coordonnées (xA’ ; yA’) et O a pour coordonnées (xO ; yO), alors xO = (xA + xA’) ÷ 2 et yO = (yA + yA’) ÷ 2. Pour trouver A’ lorsque A et O sont connus, utilise xA’ = 2 × xO − xA et yA’ = 2 × yO − yA. Par exemple, si A(−2 ; 5) et O(1 ; 2), alors xA’ = 2 × 1 − (−2) = 4 et yA’ = 2 × 2 − 5 = −1. Donc A’(4 ; −1). Les signes demandent de la vigilance : soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé. Dans une construction avec un cercle, commence toujours par l’image du centre. L’image d’un cercle de centre C et de rayon 3 cm est le cercle de centre C’, image de C, et de rayon 3 cm. Tu n’as pas à symétriser une multitude de points du cercle. Pour l’image d’une droite, choisis deux points distincts de cette droite, construis leurs images, puis trace la droite passant par ces deux images. Cette méthode est valable parce qu’une droite est déterminée par deux points distincts. Travaille avec des traits de construction légers : ils servent à contrôler ton raisonnement, puis tu mets en valeur la figure finale. C’est une finale de rigueur, pas un dessin décoratif.

Cas particulier à ne pas rater