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Mathématiques · Géométrie

Le côté adjacent dans un triangle rectangle en 3ᵉ : cours, exercices et méthode pour le brevet

★ Tombe souvent au brevet Difficulté ●●○ 17 min de lecture
Difficulté2/3
Par Damien Chapuis · mis à jour pour la session 2027
▶
Coach Vince te lit la leçon

L'essentiel avec Coach Vince

  • Le côté adjacent est le côté qui touche l’angle étudié, sans être l’hypoténuse.
  • Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est toujours le côté opposé à l’angle droit.
  • Pour utiliser le cosinus, tu écris cos(angle) = côté adjacent ÷ hypoténuse.

Un côté défini par rapport à un angle

Le mot adjacent signifie « placé à côté ». En géométrie, un côté adjacent à un angle est un côté qui a ce sommet comme extrémité. Mais, dans un triangle rectangle, lorsque tu travailles en trigonométrie, il faut ajouter une condition essentielle : le côté adjacent est le côté qui touche l’angle étudié et qui n’est pas l’hypoténuse. Tu ne peux donc pas désigner un côté adjacent sans préciser l’angle de référence. Le même côté peut être adjacent à un angle aigu et opposé à l’autre angle aigu.

Prends le triangle ABC rectangle en A. L’angle droit est A, donc le côté opposé à A est [BC]. [BC] est l’hypoténuse. Si tu étudies l’angle ABC, les deux côtés qui touchent B sont [BA] et [BC]. Or [BC] est l’hypoténuse : il ne peut pas être appelé côté adjacent dans le vocabulaire trigonométrique. Le côté adjacent à l’angle ABC est donc [AB]. Le troisième côté, [AC], est le côté opposé à l’angle ABC.

Si tu changes et que tu étudies l’angle ACB, [AC] devient le côté adjacent et [AB] devient le côté opposé. L’hypoténuse [BC], elle, ne change jamais. C’est le repère le plus sûr : commence toujours par localiser l’angle droit, puis barre mentalement le côté placé en face de cet angle. Tu as trouvé l’hypoténuse. Parmi les deux côtés restants, celui qui touche l’angle choisi est l’adjacent. L’autre est l’opposé. Cette méthode évite les confusions, même si la figure est tournée.

Le vocabulaire à maîtriser

ÉlémentComment le reconnaîtreDans le triangle ABC rectangle en A
Angle droitIl est signalé par un petit carré sur la figure ou indiqué dans l’énoncé.L’angle BAC est droit.
HypoténuseC’est le côté opposé à l’angle droit. C’est aussi le plus long côté du triangle rectangle.[BC] est l’hypoténuse car il est opposé à A.
Côté adjacent à l’angle ABCIl touche le sommet B et ce n’est pas l’hypoténuse.[AB] est adjacent à l’angle ABC.
Côté opposé à l’angle ABCIl ne touche pas le sommet B.[AC] est opposé à l’angle ABC.
Côté adjacent à l’angle ACBIl touche le sommet C et ce n’est pas l’hypoténuse.[AC] est adjacent à l’angle ACB.

Le plan de jeu avant tout calcul

  • 1. Vérifie que le triangle est rectangle. Les rapports trigonométriques étudiés ici, dont le cosinus, s’utilisent uniquement dans un triangle rectangle. Un dessin qui ressemble à un triangle rectangle ne suffit pas : l’angle droit doit être indiqué ou démontré.
  • 2. Nomme l’angle étudié. Entoure-le sur ton brouillon. Si l’énoncé demande une longueur « par rapport à l’angle E », ton classement doit être fait par rapport à E, pas par rapport à un autre sommet.
  • 3. Repère l’hypoténuse. Cherche le côté opposé à l’angle droit. Ne choisis jamais l’hypoténuse parce qu’elle paraît longue sur la feuille : une figure n’est pas toujours à l’échelle.
  • 4. Écarte l’hypoténuse. Parmi les deux côtés qui forment l’angle étudié, l’un est l’hypoténuse. L’autre est le côté adjacent.
  • 5. Choisis le bon rapport. Si les données utiles sont le côté adjacent et l’hypoténuse, ou si tu cherches l’un de ces deux côtés à partir de l’autre et d’un angle aigu, utilise le cosinus.
  • 6. Rédige avec les notations exactes. Écris le nom du triangle, le sommet de l’angle droit et l’angle de référence. Puis écris l’égalité de cosinus avec les segments dans le bon ordre. Une formule isolée ne montre pas que tu as compris la figure.

La règle du cosinus

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu donné, le cosinus de cet angle est égal à la longueur du côté adjacent divisée par la longueur de l’hypoténuse : cos(angle) = côté adjacent ÷ hypoténuse.

Dans le triangle ABC rectangle en A, pour l’angle ABC, [AB] est adjacent et [BC] est l’hypoténuse. Tu peux donc écrire : cos(ABC) = AB ÷ BC. Si AB = 6 cm et BC = 10 cm, alors cos(ABC) = 6 ÷ 10 = 0,6. Pour obtenir la mesure de l’angle, tu utilises la fonction cosinus inverse de la calculatrice en mode degré : ABC ≈ 53°. Le symbole ≈ signifie « est approximativement égal à ».

Si tu connais l’angle et l’hypoténuse, transforme la formule : adjacent = hypoténuse × cos(angle). Par exemple, dans un triangle rectangle, si l’hypoténuse mesure 12 cm et si l’angle étudié mesure 47°, le côté adjacent mesure 12 × cos(47°) ≈ 8,2 cm. Si tu connais l’angle et le côté adjacent, transforme autrement : hypoténuse = adjacent ÷ cos(angle). Garde toujours les unités dans ta réponse finale.

Choisir entre cosinus, sinus et tangente

Le cosinus n’est pas le seul rapport trigonométrique. Avant de choisir une formule, regarde les deux côtés que tu connais ou que tu cherches, toujours par rapport à l’angle étudié.

cos(angle) = adjacent ÷ hypoténuse. Utilise-le lorsque l’adjacent et l’hypoténuse sont les côtés utiles.

sin(angle) = opposé ÷ hypoténuse. Utilise-le lorsque l’opposé et l’hypoténuse sont les côtés utiles.

tan(angle) = opposé ÷ adjacent. Utilise-la lorsque l’opposé et l’adjacent sont les côtés utiles, sans connaître l’hypoténuse. Par exemple, si le côté opposé à l’angle V mesure 5 cm et son côté adjacent mesure 12 cm, alors tan(V) = 5 ÷ 12. Tu calcules ensuite V avec la fonction tangente inverse de la calculatrice, en mode degré.

Au brevet, le bon rapport est celui qui utilise directement les informations de l’énoncé. Tu évites ainsi de calculer d’abord une troisième longueur avec Pythagore alors que la tangente, le sinus ou le cosinus répond déjà à la question.

Contrôler ton résultat avec rigueur

Un calcul juste doit aussi donner un résultat cohérent. Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est plus longue que chacun des deux autres côtés. Donc, si tu calcules une hypoténuse et que tu trouves une valeur plus petite que le côté adjacent connu, ton résultat est impossible. Reprends le choix du rapport ou l’isolement de la longueur.

Pour un angle aigu, le cosinus est strictement compris entre 0 et 1. Ainsi, dans l’égalité cos(E) = adjacent ÷ hypoténuse, le numérateur doit être plus petit que le dénominateur. Si tu obtiens 1,4 pour le cosinus d’un angle aigu, tu as probablement inversé les deux longueurs. Le rapport hypoténuse ÷ adjacent est supérieur à 1 : ce n’est pas un cosinus d’angle aigu.

Fais aussi attention à l’unité choisie sur la calculatrice. Pour les angles d’un triangle, travaille en degrés. Si la calculatrice est réglée dans une autre unité, la valeur affichée ne répondra pas à la question. N’arrondis qu’à la fin du calcul. Si l’énoncé demande une valeur au dixième, conserve les chiffres affichés pendant le calcul, puis écris par exemple 7,3 cm. Si une mesure est exacte, ne la transforme pas inutilement en écriture approchée.

Dernier contrôle : relis la question. Si elle demande de nommer le côté adjacent, une longueur seule ne répond pas. Si elle demande de calculer une longueur, indique le segment concerné et son unité. Si elle demande une mesure d’angle, ajoute le symbole degré. Une réponse précise est ta meilleure finale.

Au brevet, on te demande…

Tu dois repérer les côtés par rapport à un angle donné, choisir le rapport trigonométrique adapté et rédiger un calcul de longueur ou d’angle avec une conclusion et un arrondi demandé.

Type de question
Calcul à justifier dans une figure, souvent intégré à une situation de distance, de pente, d’échelle, de hauteur ou d’accès à un bâtiment.
Exemple type
Une rampe mesure 4,6 m et forme un angle de 12° avec le sol horizontal. Calcule, au centimètre près, la longueur horizontale qu’elle occupe. Justifie le rapport trigonométrique choisi et arrondis seulement à la fin.
Alerte piège au brevet
Prendre un rapport qui n’utilise pas directement les données. Si l’on connaît l’opposé et l’adjacent, la tangente est plus directe que le cosinus ; si l’on connaît l’adjacent et l’hypoténuse, le cosinus est adapté.

Exemples résolus

Identifier les côtés par rapport à un angle

Énoncé. Le triangle RST est rectangle en R. Indique l’hypoténuse, le côté adjacent à l’angle RST et le côté opposé à l’angle RST.

  1. Le triangle est rectangle en R.
  2. Le côté opposé à l’angle droit R est [ST] : c’est l’hypoténuse.
  3. L’angle RST est au sommet S. Les côtés qui touchent S sont [SR] et [ST].
  4. [ST] est l’hypoténuse, donc le côté adjacent à l’angle RST est [RS].
  5. Le côté qui ne touche pas S est [RT] : il est opposé à l’angle RST.

Résultat : Hypoténuse : [ST]. Côté adjacent à l’angle RST : [RS]. Côté opposé à l’angle RST : [RT].

Calculer une distance avec le cosinus

Énoncé. Une échelle de 6,8 m est posée contre un mur vertical. Le sol et le mur sont perpendiculaires. L’échelle forme un angle de 68° avec le sol. Calcule, au dixième de mètre près, la distance entre le pied de l’échelle et le mur.

  1. On modélise la situation par un triangle rectangle : le mur est perpendiculaire au sol.
  2. L’échelle est l’hypoténuse, car elle est opposée à l’angle droit.
  3. La distance cherchée touche l’angle de 68° et n’est pas l’hypoténuse : c’est le côté adjacent.
  4. cos(68°) = distance au mur ÷ 6,8.
  5. Donc distance au mur = 6,8 × cos(68°).
  6. distance au mur ≈ 2,547..., donc distance au mur ≈ 2,5.

Résultat : La distance entre le pied de l’échelle et le mur est d’environ 2,5 m.

Calculer un angle à partir du côté adjacent

Énoncé. Un câble de 17 m relie le sommet d’un poteau au sol. Le point d’ancrage est situé à 8 m du pied du poteau. Le sol est horizontal et le poteau est vertical. Calcule, au degré près, l’angle formé par le câble avec le sol.

  1. Le poteau et le sol sont perpendiculaires : la situation forme un triangle rectangle.
  2. Le câble de 17 m est l’hypoténuse.
  3. Par rapport à l’angle formé avec le sol, la distance de 8 m est le côté adjacent.
  4. cos(angle) = 8 ÷ 17.
  5. angle = cosinus inverse de 8 ÷ 17, donc angle ≈ 62°.

Résultat : Le câble forme un angle d’environ 62° avec le sol.

Annonce ta règle

Avant tout calcul, écris que le triangle est rectangle et nomme l’hypoténuse. Tu montres ainsi pourquoi le cosinus est autorisé.

Fais un contrôle final

Compare toujours la longueur obtenue à l’hypoténuse : elle doit être plus petite si c’est un côté de l’angle droit. Vérifie aussi l’unité demandée avant de conclure.

Ta séance d'entraînement

1

Trouver l’hypoténuse

★☆☆

Indique l’hypoténuse dans chaque triangle rectangle.

  1. Le triangle ABC est rectangle en A.
  2. Le triangle KLM est rectangle en L.
Voir le corrigé
  1. [BC]. Explication : L’hypoténuse est opposée au sommet A, qui porte l’angle droit.
  2. [KM]. Explication : Le côté [KM] est opposé à l’angle droit L.
2

Classer les côtés

★☆☆

Indique le côté adjacent à l’angle demandé.

  1. Le triangle ABC est rectangle en A. Angle étudié : ABC.
  2. Le triangle ABC est rectangle en A. Angle étudié : ACB.
  3. Le triangle RST est rectangle en R. Angle étudié : RTS.
Voir le corrigé
  1. [AB]. Explication : [AB] touche B et n’est pas l’hypoténuse [BC].
  2. [AC]. Explication : [AC] touche C et n’est pas l’hypoténuse [BC].
  3. [RT]. Explication : L’hypoténuse est [ST], donc [RT] est le côté adjacent à l’angle T.
3

Tester tes réflexes

★☆☆

Réponds par vrai ou faux et corrige les affirmations fausses.

  1. Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est opposée à l’angle droit.
  2. Le côté adjacent à un angle aigu est toujours l’hypoténuse.
  3. Dans un triangle rectangle, cos(angle) = côté adjacent ÷ hypoténuse.
Voir le corrigé
  1. Vrai. Explication : C’est la définition de l’hypoténuse.
  2. Faux. Le côté adjacent touche l’angle étudié et n’est pas l’hypoténuse. Explication : L’hypoténuse est exclue lorsqu’on désigne le côté adjacent.
  3. Vrai. Explication : Cette égalité est valable pour un angle aigu du triangle rectangle.
4

Compléter des égalités

★★☆

Complète chaque égalité de cosinus.

  1. Le triangle DEF est rectangle en D. Complète : cos(DEF) = … ÷ …
  2. Le triangle GHI est rectangle en H. Complète : cos(HIG) = … ÷ …
Voir le corrigé
  1. cos(DEF) = DE ÷ EF. Explication : [DE] est adjacent à l’angle E et [EF] est l’hypoténuse.
  2. cos(HIG) = HI ÷ GI. Explication : [HI] est adjacent à l’angle I et [GI] est l’hypoténuse.
5

Calculer une longueur

★★☆

Calcule la longueur demandée.

  1. Le triangle ABC est rectangle en A. BC = 14 cm et ABC = 60°. Calcule AB.
  2. Le triangle KLM est rectangle en K. LM = 20 cm et KLM = 60°. Calcule KL.
Voir le corrigé
  1. Dans le triangle ABC rectangle en A, cos(ABC) = AB ÷ BC. Donc AB = BC × cos(ABC) = 14 × cos(60°) = 7 cm. Explication : Par rapport à l’angle B, [AB] est le côté adjacent.
  2. Dans le triangle KLM rectangle en K, cos(KLM) = KL ÷ LM. Donc KL = LM × cos(KLM) = 20 × cos(60°) = 10 cm. Explication : Le segment [LM] est l’hypoténuse car il est opposé à K.
6

Retrouver un angle

★★☆

Calcule la mesure de l’angle demandée au degré près.

  1. Le triangle RST est rectangle en R. RS = 9 cm et ST = 15 cm. Calcule l’angle RST.
Voir le corrigé
  1. Dans le triangle RST rectangle en R, cos(RST) = RS ÷ ST = 9 ÷ 15 = 0,6. Donc RST = cosinus inverse de 0,6, soit RST ≈ 53°. Explication : [RS] est adjacent à l’angle S et [ST] est l’hypoténuse.
7

Choisir avant de calculer

★★★

Analyse la situation et rédige le calcul adapté.

Le triangle UVW est rectangle en U. UV = 12 cm et UW = 5 cm. On cherche l’angle UVW. Le cosinus est-il le rapport le plus direct ? Justifie.

Voir le corrigé
  1. Non. Dans le triangle UVW rectangle en U, pour l’angle UVW, [UV] est le côté adjacent et [UW] est le côté opposé. Or les longueurs connues sont l’adjacent et l’opposé, sans l’hypoténuse. Le cosinus n’est donc pas le rapport le plus direct. Explication : Le cosinus exige l’adjacent et l’hypoténuse.
8

Rédiger comme au brevet

★★★

Rédige une solution complète et justifiée.

Le triangle MNP est rectangle en M. NP = 13 cm et MNP = 60°. Calcule MN.

Voir le corrigé
  1. Le triangle MNP est rectangle en M. [NP] est donc l’hypoténuse. Par rapport à l’angle MNP, [MN] est le côté adjacent. Dans le triangle MNP rectangle en M, cos(MNP) = MN ÷ NP. Donc MN = NP × cos(MNP) = 13 × cos(60°) = 6,5 cm. Ainsi, MN = 6,5 cm. Explication : La rédaction doit citer le triangle rectangle, identifier les côtés, écrire le rapport puis conclure avec l’unité.

Évaluation

Réponds avec soin. Justifie les calculs trigonométriques par une phrase et une égalité. Barème : 20 points

  1. Le triangle ABC est rectangle en A. Nomme son hypoténuse./ 2
  2. Dans le triangle ABC rectangle en A, indique le côté adjacent à l’angle ABC./ 2
  3. Le triangle DEF est rectangle en D. Complète : cos(DEF) = … ÷ …/ 3
  4. Le triangle GHI est rectangle en G. HI = 18 cm et GHI = 60°. Calcule GH./ 5
  5. Le triangle JKL est rectangle en J. JK = 8 cm et KL = 17 cm. Calcule l’angle JKL au degré près./ 5
  6. Explique pourquoi l’égalité cos(ABC) = BC ÷ AB est fausse dans un triangle ABC rectangle en A./ 3
Voir le corrigé de l'évaluation
  1. [BC]. (2 pts)
  2. [AB]. (2 pts)
  3. cos(DEF) = DE ÷ EF. (3 pts)
  4. Le triangle GHI est rectangle en G, donc [HI] est l’hypoténuse et [GH] est adjacent à l’angle GHI. cos(GHI) = GH ÷ HI, donc GH = 18 × cos(60°) = 9 cm. (5 pts)
  5. Le triangle JKL est rectangle en J. [KL] est l’hypoténuse et [JK] est adjacent à l’angle JKL. cos(JKL) = JK ÷ KL = 8 ÷ 17. Donc JKL ≈ 62°. (5 pts)
  6. Dans le triangle ABC rectangle en A, [BC] est l’hypoténuse et [AB] est le côté adjacent à l’angle ABC. Or cos(ABC) = côté adjacent ÷ hypoténuse. Il faut donc écrire cos(ABC) = AB ÷ BC. (3 pts)

Erreurs fréquentes

Erreur à éviterPourquoiLe bon réflexe
Choisir le côté le plus long comme hypoténuse sans chercher l’angle droit.L’hypoténuse est définie par sa position opposée à l’angle droit, non par l’apparence du dessin.Repère d’abord le sommet de l’angle droit, puis prends le côté situé en face.
Appeler « adjacent » l’hypoténuse parce qu’elle touche l’angle étudié.L’hypoténuse touche aussi chacun des angles aigus, mais elle est exclue du vocabulaire adjacent en trigonométrie.À l’angle choisi, garde le côté qui touche l’angle après avoir retiré l’hypoténuse.
Écrire cos(angle) = hypoténuse ÷ adjacent.Ce quotient est supérieur à 1, alors que le cosinus d’un angle aigu est compris entre 0 et 1.Retiens l’ordre fixe : adjacent ÷ hypoténuse.

Guide pour les parents

Demandez à votre enfant d’expliquer son repérage à voix haute avant de prendre la calculatrice.

  • Montrez un triangle rectangle dans des orientations différentes et demandez quel côté est opposé à l’angle droit, puis quel côté est adjacent à l’angle indiqué.
  • Lors d’une correction, ne donnez pas tout de suite la formule : demandez d’abord quel angle est étudié, quelle est l’hypoténuse et quelles longueurs sont connues.

Temps conseillé : ~15 min.

Questions fréquentes

Le côté adjacent est-il toujours le même dans un triangle rectangle ?

Non. Il dépend de l’angle aigu étudié. L’hypoténuse reste la même, mais les rôles d’adjacent et d’opposé s’échangent quand on change d’angle.

Pourquoi l’hypoténuse n’est-elle pas un côté adjacent ?

Elle touche l’angle aigu, mais en trigonométrie le côté adjacent désigne obligatoirement l’autre côté qui touche cet angle.

Puis-je utiliser le cosinus dans n’importe quel triangle ?

Non. Dans ce cadre, le rapport cos(angle) = adjacent ÷ hypoténuse s’utilise uniquement dans un triangle rectangle.

Comment savoir si ma calculatrice est bien réglée ?

Pour une mesure d’angle de triangle, sélectionne le mode degré. Vérifie ensuite qu’un calcul connu, comme cos(60°), donne 0,5.

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