Le nombre d’or en 3ᵉ : comprendre ses liens avec la géométrie et la nature

Le nombre d’or : une proportion précise

Le nombre d’or est un nombre irrationnel, noté φ, qui apparaît lorsqu’un segment est partagé selon une proportion particulière. Imagine un grand segment découpé en une grande partie et une petite partie. La division est d’or lorsque le quotient du segment entier par la grande partie est égal au quotient de la grande partie par la petite partie. Les deux quotients ont alors la même valeur : φ. Cette condition s’écrit : entier ÷ grande partie = grande partie ÷ petite partie.

La valeur exacte de φ est (1 + √5) ÷ 2. Sa valeur approchée est φ ≈ 1,618. Comme √5 est irrationnel, φ possède une infinité de décimales non périodiques. Dans un calcul concret, tu dois annoncer si tu donnes une valeur exacte, avec √5, ou une valeur approchée, avec le symbole ≈.

Le nombre φ vérifie une propriété fondamentale : φ² = φ + 1. Cette égalité permet de reconnaître le nombre d’or dans des calculs algébriques ou géométriques. Si un nombre positif x vérifie x² = x + 1, alors x est égal à φ. En effet, l’équation x² − x − 1 = 0 possède deux solutions, mais une seule est positive : φ. Le nombre négatif associé ne peut pas représenter le quotient de deux longueurs positives.

Ne confonds pas « proche de φ » et « égal à φ ». Un rapport de longueurs peut être 1,62 : il est proche de 1,618, mais il ne constitue qu’une approximation. En géométrie, une construction à la règle et au compas peut produire une longueur exactement liée à √5 ; une mesure faite à la règle donne seulement une estimation. La démarche à suivre est simple : tu identifies les longueurs comparées, tu calcules le quotient dans le bon ordre, puis tu interprètes avec précision.

Le rectangle d’or

Construire une longueur d’or avec Pythagore

• Trace un carré ABCD de côté 1. Place M, milieu du segment [AB]. Tu as donc AM = MB = ½.
• Dans le triangle MBC rectangle en B, l’hypoténuse est [MC], car elle est opposée à l’angle droit situé en B. Le théorème de Pythagore s’applique uniquement parce que le triangle est rectangle : MC² = MB² + BC².
• Calcule : MC² = ½² + 1² = ¼ + 1 = 5 ÷ 4. Comme MC est une longueur positive, MC = √5 ÷ 2.
• Trace le cercle de centre M et de rayon MC. Il coupe la droite (AB), prolongée au-delà de B, en un point N. Alors MN = MC = √5 ÷ 2.
• Additionne AM et MN : AN = ½ + √5 ÷ 2 = (1 + √5) ÷ 2 = φ. Le segment [AN] a donc pour longueur φ lorsque le côté du carré mesure 1.
• Si le carré a pour côté c, toutes les longueurs sont multipliées par c. La construction donne alors une longueur c × φ. Un agrandissement ou une réduction conserve les rapports de longueurs : un rectangle d’or reste un rectangle d’or.

Thalès, trigonométrie et transformations : exploiter une figure

Le nombre d’or peut être étudié dans des figures où interviennent plusieurs outils du programme de 3ᵉ. Lorsque des droites sont parallèles, le théorème de Thalès permet de calculer une longueur manquante et donc de former un rapport. Par exemple, dans un triangle ABC, si M appartient à [AB], N appartient à [AC] et si (MN) est parallèle à (BC), alors AM ÷ AB = AN ÷ AC = MN ÷ BC. Il faut toujours citer les alignements et le parallélisme avant d’appliquer Thalès. Une fois une longueur calculée, tu peux comparer un quotient à φ ; Thalès ne prouve pas à lui seul qu’une figure est d’or.

Dans un triangle rectangle issu d’un rectangle d’or, la trigonométrie peut également être utile. Si la longueur vaut L, la largeur l et que la diagonale forme un angle α avec la longueur, alors tan α = l ÷ L. Pour un rectangle d’or, L ÷ l = φ, donc l ÷ L est environ égal à 0,618. Avec une calculatrice, tu peux déterminer l’angle α à partir de tan α, ou calculer une longueur lorsque l’angle et une autre longueur sont connus. Choisis sin, cos ou tan en repérant les côtés opposé, adjacent et l’hypoténuse dans le triangle rectangle.

Une translation, une rotation, une symétrie axiale ou une symétrie centrale conserve les longueurs et les angles : l’image d’un rectangle d’or par l’une de ces transformations est donc encore un rectangle d’or. Une homothétie, un agrandissement ou une réduction multiplie toutes les longueurs par le même coefficient. Le rapport longueur ÷ largeur est alors conservé. Attention : une transformation géométrique ne change pas la nature d’un rectangle d’or, mais une déformation qui ne conserverait pas les proportions pourrait modifier son rapport.

Suite de Fibonacci et observations dans la nature

Solides, sections et agrandissement-réduction

Le vocabulaire du nombre d’or peut aussi être utilisé dans la géométrie dans l’espace. Considère par exemple un prisme droit dont la base est un rectangle d’or. Si un plan coupe ce prisme parallèlement aux bases, la section obtenue est un rectangle superposable à la base : ses dimensions et son rapport sont donc conservés. Dans un prisme droit, une section parallèle à une base a la même forme et les mêmes dimensions que cette base. Tu dois distinguer la figure plane obtenue par la section du solide entier.

Dans une pyramide ou dans un cône, une section parallèle à la base produit une figure semblable à la base, mais généralement plus petite. Les longueurs de la section sont obtenues par un coefficient de réduction compris entre 0 et 1. Les aires sont alors multipliées par le carré de ce coefficient et les volumes par son cube. Au niveau 3ᵉ, lis attentivement les données : si un coefficient k est donné pour les longueurs, tu multiplies chaque longueur correspondante par k. Le quotient de deux longueurs correspondantes est inchangé.

Pour représenter un solide, vérifie quelles arêtes sont visibles, lesquelles sont cachées et quelle est la position du plan de coupe. Une section parallèle à une face ne se déduit pas d’une simple impression visuelle : tu dois t’appuyer sur le parallélisme des plans ou des arêtes indiqué dans l’énoncé. Dans une situation d’agrandissement-réduction, conserve les unités et applique le même coefficient à toutes les longueurs concernées. Ces méthodes sont fréquentes dans les exercices de brevet, même lorsque le contexte évoque l’architecture, un objet ou une forme naturelle.

Observer, calculer, conclure : la méthode solide

Face à une photographie de fleur, de coquillage ou d’architecture, garde une attitude scientifique. Une image peut suggérer une spirale ou une proportion harmonieuse, mais elle ne démontre rien à elle seule. Pour établir qu’un rapport est proche du nombre d’or, tu dois disposer de mesures identifiées, calculer le quotient demandé et le comparer à 1,618. Si les dimensions sont arrondies, ta conclusion doit elle aussi être prudente : « le rapport est proche de φ » est acceptable ; « le rectangle est exactement d’or » ne l’est pas sans donnée exacte.

Quand tu compares deux longueurs, écris l’unité et vérifie qu’elle est identique pour les deux mesures. Le quotient de 32 cm par 20 cm vaut 1,6. Ce résultat est proche de φ, mais l’écart existe. Si tu avais 32 mm et 2 cm, tu convertirais d’abord 2 cm en 20 mm avant de calculer 32 ÷ 20. Un quotient de longueurs est sans unité lorsque les deux longueurs sont exprimées dans la même unité.

Le nombre d’or peut aussi apparaître dans un exercice de géométrie utilisant des racines carrées, une construction ou un agrandissement. Lis la figure avant de te lancer. Repère les segments égaux, les milieux, les triangles rectangles et les droites prolongées. Si tu utilises Pythagore, annonce d’abord que le triangle est rectangle et nomme l’hypoténuse correctement. Si tu utilises Thalès, vérifie les alignements et le parallélisme. Si tu utilises une homothétie ou un coefficient d’agrandissement, applique-le à toutes les longueurs correspondantes. Ensuite seulement, forme le quotient longueur ÷ largeur.

Dernière vérification : dans un rectangle d’or, la longueur est plus grande que la largeur, donc le rapport longueur ÷ largeur doit être supérieur à 1. Un résultat comme 0,618 peut être utile, mais il correspond au quotient largeur ÷ longueur. Il n’est pas faux ; il ne répond simplement pas au quotient attendu. Conseil de Coach Vince : une conclusion courte, justifiée et bien formulée vaut mieux qu’une affirmation spectaculaire.