Médiane et quartiles en 3ᵉ : cours, méthodes et exercices pour le brevet

Pourquoi la moyenne ne suffit pas toujours

Une série statistique rassemble plusieurs valeurs observées : des durées, des notes, des tailles, des distances ou des nombres d’objets. Pour décrire cette série, tu connais déjà la moyenne. Elle se calcule en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par l’effectif total. Mais elle peut être fortement modifiée par une valeur très grande ou très petite. La médiane et les quartiles donnent une autre information : ils indiquent comment les données se répartissent dans la série ordonnée. Ordonner signifie classer les valeurs de la plus petite à la plus grande, en conservant chaque répétition. Dans la série 4 ; 7 ; 7 ; 9 ; 12, la valeur 7 apparaît deux fois : elle occupe donc deux rangs. La médiane est une valeur qui sépare la série en deux parties : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié des valeurs lui sont supérieures ou égales. Elle ne mesure donc pas une « valeur moyenne » au sens du calcul. Elle repère une position centrale. Les quartiles jouent un rôle semblable à des positions plus précises. Le premier quartile, noté Q1, est une valeur telle qu’au moins un quart des données lui sont inférieures ou égales. Le troisième quartile, noté Q3, est une valeur telle qu’au moins trois quarts des données lui sont inférieures ou égales. Entre Q1 et Q3 se trouvent au moins la moitié des données : c’est la zone centrale de la série. Ne confonds jamais un quartile avec un quart des valeurs : Q1 et Q3 sont des valeurs de la série, pas des effectifs. Exemple : si Q1 vaut 12 minutes, cela ne signifie pas « un quart vaut 12 » ; cela signifie qu’au moins un quart des personnes ont une durée inférieure ou égale à 12 minutes. Garde ce vocabulaire précis : une bonne interprétation commence par une définition exacte.

Ton plan de jeu pour une liste de valeurs

• 1. Vérifie la nature des données. La médiane et les quartiles s’utilisent pour une variable quantitative, c’est-à-dire une grandeur numérique que l’on peut comparer et ranger. Ils n’ont pas de sens pour des catégories telles que des couleurs ou des prénoms.
• 2. Range toutes les valeurs dans l’ordre croissant. Cette étape est obligatoire. Si la liste n’est pas ordonnée, les rangs ne correspondent à rien. Recopie les valeurs sans en supprimer et sans en ajouter.
• 3. Compte l’effectif total N. N est le nombre total de valeurs de la série, répétitions comprises. Il détermine les rangs à examiner.
• 4. Cherche la médiane. Si N est impair, la médiane est la valeur de rang (N + 1) ÷ 2. Si N est pair, la convention de calcul usuelle consiste à faire la moyenne des deux valeurs centrales, de rang N ÷ 2 et de rang N ÷ 2 + 1. Cette moyenne peut ne pas appartenir à la série : c’est normal.
• 5. Cherche Q1. Q1 est la valeur de rang obtenu en arrondissant N ÷ 4 à l’entier supérieur. En langage rigoureux, c’est la valeur de rang le plus petit entier supérieur ou égal à N ÷ 4.
• 6. Cherche Q3. Q3 est la valeur de rang obtenu en arrondissant 3N ÷ 4 à l’entier supérieur. Attention : on prend directement le rang dans la série entière. On ne cherche pas le quartile dans une moitié de série.
• 7. Rédige une phrase adaptée au contexte. Pour une médiane de 14 km, tu peux écrire : « Au moins la moitié des distances sont inférieures ou égales à 14 km et au moins la moitié sont supérieures ou égales à 14 km. » Pour Q3, tu écris : « Au moins trois quarts des distances sont inférieures ou égales à cette valeur. »
• 8. Contrôle la cohérence. Dans toute série, on doit avoir minimum ≤ Q1 ≤ médiane ≤ Q3 ≤ maximum. Si cet ordre est faux, reprends les rangs : une erreur de comptage est probable.

Rangs à repérer selon l’effectif

Avec un tableau d’effectifs, utilise les effectifs cumulés

Lire les indicateurs et comparer deux séries

Calculer est une première étape ; interpréter donne le sens. Si la médiane des temps d’un groupe est 18 minutes, elle ne veut pas dire que tout le groupe a mis 18 minutes. Elle indique qu’au moins la moitié des temps sont inférieurs ou égaux à 18 minutes et qu’au moins la moitié sont supérieurs ou égaux à 18 minutes. Si Q1 vaut 14 minutes, au moins un quart des temps sont inférieurs ou égaux à 14 minutes. Si Q3 vaut 23 minutes, au moins trois quarts des temps sont inférieurs ou égaux à 23 minutes ; autrement dit, au plus un quart les dépasse. Pour comparer deux séries, commence par préciser ce que représente une grande valeur. Pour des distances parcourues, une médiane plus grande peut traduire une meilleure performance. Pour des durées nécessaires à une tâche, une médiane plus petite peut être préférable. Ne conclus donc jamais « la meilleure série » sans revenir au contexte. Les quartiles complètent la médiane. L’écart interquartile est Q3 − Q1. Il mesure l’étendue de la moitié centrale des données. Un écart interquartile petit indique que les valeurs centrales sont resserrées ; un écart plus grand indique qu’elles sont davantage dispersées. Exemple : le groupe A a Q1 = 11, médiane = 15 et Q3 = 17. Le groupe B a Q1 = 9, médiane = 15 et Q3 = 21. Les deux groupes ont la même médiane, donc la même position centrale selon cet indicateur. Pourtant, l’écart interquartile de A vaut 17 − 11 = 6, tandis que celui de B vaut 21 − 9 = 12. Les résultats centraux du groupe A sont plus regroupés. La moyenne apporte encore une information différente. Si moyenne et médiane sont proches, la série peut être assez équilibrée autour de son centre, mais ce seul constat ne suffit pas à prouver une répartition régulière. Si elles sont éloignées, cherche des valeurs extrêmes ou une répartition dissymétrique. Par exemple, pour les durées 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 minutes, la médiane et la moyenne valent 10 minutes. Pour les durées 5 ; 9 ; 10 ; 11 ; 25 minutes, la médiane vaut encore 10 minutes, mais la moyenne vaut (5 + 9 + 10 + 11 + 25) ÷ 5 = 12 minutes. La durée de 25 minutes augmente la moyenne, alors que la médiane reste représentative de la position centrale. Au brevet, une conclusion solide cite les nombres utiles, les compare et les relie explicitement à la situation. Coach Vince te demande cette rigueur : un résultat isolé vaut moins qu’une phrase qui explique ce qu’il montre.