Les fonctions linéaires en 3ᵉ : cours, exercices et méthode pour le brevet

Reconnaître la forme d’une fonction linéaire

Une fonction linéaire est une fonction définie par une formule de la forme f(x) = ax. La lettre x désigne un nombre que l’on choisit : c’est la variable. La lettre a désigne un nombre fixé une fois pour toutes : c’est le coefficient de la fonction linéaire. La fonction f qui vérifie f(x) = 4x est donc linéaire, de coefficient 4. Si x vaut 3, alors f(3) = 4 × 3 = 12. Attention à la structure exacte : f(x) = ax, sans nombre ajouté ni retiré. La formule g(x) = 5x − 2 n’est pas une fonction linéaire, car le nombre −2 est ajouté après le produit. La formule h(x) = −3x est bien une fonction linéaire, de coefficient −3. Le coefficient peut être positif, négatif, nul, entier, décimal ou fractionnaire. Lorsque a = 0, la fonction est définie par f(x) = 0 pour toute valeur de x : c’est encore une fonction linéaire. Pour reconnaître rapidement une fonction linéaire, tu vérifies que chaque terme contenant x est réduit à un seul produit a × x et qu’aucun terme constant ne reste. Par exemple, 2(x + 3) n’est pas une expression de la forme ax, car elle vaut 2x + 6. En revanche, −0,5x est de la forme ax. Ne confonds pas le coefficient a avec l’image f(x) : le coefficient ne dépend jamais de x, tandis que l’image change lorsque x change. C’est ton premier contrôle de rigueur avant toute série de calculs.

Le vocabulaire à employer avec précision

Images et antécédents : deux calculs différents

Ton plan de jeu pour calculer sans erreur

• Pour une image, recopie d’abord la formule. Remplace ensuite x par le nombre demandé, en mettant ce nombre entre parenthèses s’il est négatif. Avec p(x) = −4x et x = −3, écris p(−3) = −4 × (−3) = 12. Les deux signes négatifs donnent un produit positif.
• Pour un antécédent, traduis la question par une égalité. Chercher l’antécédent de 15 par q(x) = −5x revient à résoudre −5x = 15. En divisant les deux membres par −5, tu obtiens x = −3. Écrire seulement « −3 » ne suffit pas toujours : la ligne d’équation montre ta méthode.
• Pour un tableau de valeurs, choisis ou utilise les valeurs de x indiquées, puis multiplie chaque valeur par le coefficient. Si r(x) = ½x, l’image de 8 est ½ × 8 = 4. Ne transforme pas ½x en ½ + x : il s’agit d’un produit.
• Pour contrôler, estime le signe du résultat. Si le coefficient est négatif, une valeur positive de x doit avoir une image négative. Si ton calcul donne l’inverse, reprends les signes avant de passer à la suite.
• Pour rédiger, nomme clairement la fonction et utilise les notations adaptées. Écris « f(6) = 18 », pas « f = 18 », car 18 est l’image de 6, non la fonction entière.

Tracer et lire une représentation graphique

La représentation graphique d’une fonction linéaire f(x) = ax est une droite qui passe par l’origine du repère, c’est-à-dire le point O de coordonnées (0 ; 0). Cette propriété est valable uniquement pour une fonction de la forme ax : en effet, f(0) = a × 0 = 0. Pour tracer la droite, commence donc par placer O. Choisis ensuite une valeur simple de x, calcule son image et place le point correspondant. Pour f(x) = 2x, tu peux prendre x = 3 : f(3) = 6. Tu places A(3 ; 6), puis tu traces la droite passant par O et A à la règle. Deux points distincts déterminent une droite, donc O et A suffisent. Si le coefficient est une fraction, choisis une abscisse qui facilite le calcul. Pour f(x) = ¾x, prendre x = 4 donne f(4) = 3 : le point A(4 ; 3) est facile à placer. Si le coefficient est négatif, la droite descend lorsque l’on va de gauche à droite. Pour f(x) = −2x, le point B(1 ; −2) appartient à la droite. Sur un graphique, l’image d’un nombre se lit verticalement : tu pars de l’abscisse sur l’axe horizontal, tu rejoins la droite, puis tu lis l’ordonnée. Un antécédent se lit horizontalement : tu pars de l’ordonnée, tu rejoins la droite, puis tu lis l’abscisse. Vérifie toujours l’échelle des axes : une graduation horizontale et une graduation verticale ne représentent pas forcément la même unité. Une droite qui ne passe pas par O ne peut pas représenter une fonction linéaire, même si elle semble régulière.

Fonction linéaire et proportionnalité

Relier coefficient et pourcentage d’évolution

Les pourcentages d’évolution se traduisent souvent par des fonctions linéaires lorsque l’on compare une valeur initiale x à une valeur finale y. Après une augmentation de 20 %, on obtient y = 1,2x : la valeur finale est l’image de x par la fonction linéaire de coefficient 1,2. Le coefficient 1,2 se construit ainsi : 100 % de la valeur initiale, plus 20 %, soit 120 %, donc 1,2 fois la valeur initiale. Après une réduction de 15 %, on obtient y = 0,85x, car il reste 85 % de la valeur initiale. Une hausse de 7 % donne y = 1,07x ; une baisse de 7 % donne y = 0,93x. Ne confonds jamais le pourcentage d’évolution et le coefficient multiplicateur : 20 % correspond à 0,2 pour la seule augmentation, mais le coefficient qui donne la valeur finale est 1,2. De même, une réduction de 30 % ne signifie pas multiplier par −0,3 : la valeur finale est multipliée par 0,7. Si l’on demande seulement le montant de la diminution, il s’agit de 0,3x, qui est aussi une fonction linéaire. Lis donc avec soin ce que représente la grandeur cherchée : la valeur après évolution ou la variation elle-même. Pour finir ta révision, entraîne-toi à passer d’une phrase, d’un tableau, d’une formule et d’un graphique à l’autre. C’est cette souplesse qui fera la différence dans la finale.