L'essentiel avec Coach Vince
Une expression littérale contient une ou plusieurs lettres qui représentent des nombres. Par exemple, 3(x + 4), 3x + 12 et 3 × (x + 4) désignent la même expression, écrite sous des formes différentes. La forme 3(x + 4) est une forme factorisée : elle présente un produit. La forme 3x + 12 est une forme développée : elle présente une somme de termes. Développer consiste à passer d’une forme avec parenthèses multipliées à une somme ou une différence. Factoriser consiste à faire le trajet inverse. Ces transformations ne changent pas la valeur de l’expression : elles changent seulement son écriture. Tu dois donc conserver une égalité entre les deux formes. Écris par exemple 5(2x − 3) = 10x − 15, et non une simple suite de calculs sans signe égal. Une expression développée est souvent utile pour réduire les termes semblables ou comparer des coefficients. Une expression factorisée est particulièrement utile pour calculer astucieusement, résoudre une équation-produit ou étudier le signe d’un produit. Avant de calculer, demande-toi toujours quelle forme répond à la question. C’est ton plan de jeu.
| Règle et condition | Exemple détaillé | Résultat |
|---|---|---|
| La simple distributivité s’applique lorsqu’un facteur multiplie une somme ou une différence : k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb. | −4(2x − 5) = (−4) × 2x + (−4) × (−5) | −8x + 20 |
| La double distributivité s’applique lorsqu’une somme ou une différence multiplie une autre somme ou différence : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. | (x + 3)(2x − 5) = x × 2x + x × (−5) + 3 × 2x + 3 × (−5) | 2x² + x − 15 |
| Pour deux différences, chaque produit conserve le signe obtenu par la règle des signes. | (x − 4)(x − 7) = x² − 7x − 4x + 28 | x² − 11x + 28 |
Les identités remarquables s’utilisent seulement lorsqu’un produit correspond exactement à leur forme. Pour tous nombres a et b : (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b². Par exemple, (x − 5)² = x² − 10x + 25, car 2 × x × 5 = 10x. En revanche, x² − 25 se factorise en (x + 5)(x − 5) : c’est une différence de deux carrés. Ne transforme jamais (a + b)² en a² + b² : le terme 2ab est indispensable.
Factoriser revient à chercher ce que plusieurs termes ont en commun. Le cas le plus fréquent est le facteur commun. Dans 6x + 18, les deux termes sont divisibles par 6. On écrit donc 6x + 18 = 6(x + 3). Le nombre 6 est le facteur commun mis devant la parenthèse. Dans 15x² − 10x, le facteur commun est 5x : 15x² − 10x = 5x(3x − 2). Vérifie cette écriture en développant : 5x × 3x = 15x² et 5x × (−2) = −10x. Ne choisis pas seulement un nombre lorsque la lettre est aussi commune aux termes. Cela reste juste d’écrire 15x² − 10x = 5(3x² − 2x), mais 5x(3x − 2) est plus factorisé et souvent plus utile. Attention : un terme absent ne peut pas être inventé. Dans x² + 4, x n’est pas facteur commun, car 4 ne contient pas x. Une factorisation par facteur commun est possible seulement si chaque terme contient ce facteur. Tu peux aussi factoriser en reconnaissant une identité remarquable. Ainsi, x² + 8x + 16 = (x + 4)², car 8x = 2 × x × 4 et 16 = 4². De même, 9x² − 1 = (3x + 1)(3x − 1), car c’est la différence de deux carrés : (3x)² − 1².
La forme adaptée dépend de la tâche. Pour réduire une expression comme 4(x − 2) + 3x, développe d’abord : 4x − 8 + 3x = 7x − 8. La forme développée permet de regrouper les termes en x. Pour calculer mentalement 9 × 48, écris 9 × 48 = 9(50 − 2) = 9 × 50 − 9 × 2 = 450 − 18 = 432. Ici, la forme factorisée 9(50 − 2) rend le calcul plus simple. Pour résoudre une équation telle que (x − 3)(2x + 1) = 0, conserve impérativement la forme factorisée : un produit est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs est nul. Tu peux alors écrire x − 3 = 0 ou 2x + 1 = 0, d’où x = 3 ou x = −½. Développer avant de résoudre serait possible, mais moins direct et plus risqué. Dans un programme de calcul, une expression factorisée peut montrer les étapes successives ; une forme développée peut révéler une expression plus simple. Au brevet, ne transforme pas mécaniquement. Lis le verbe de la consigne : « développer », « factoriser », « calculer », « résoudre » ou « montrer » n’attendent pas la même forme finale. Termine toujours par une expression réduite, correctement ordonnée et sans parenthèses inutiles si l’on demande de développer. Coach Vince veut une rédaction lisible : une transformation par ligne, des égalités exactes et une vérification numérique quand elle est demandée.
Tu dois développer ou factoriser une expression, réduire le résultat et choisir la forme la plus efficace dans un calcul, une équation ou un problème.
Énoncé. Développe et réduis A = (3x − 2)(x + 5).
Résultat : A = 3x² + 13x − 10.
Énoncé. Factorise B = 12x² − 18x.
Résultat : B = 6x(2x − 3).
Énoncé. Développe C = (2x − 7)².
Résultat : C = 4x² − 28x + 49.
Une ligne de contrôle
Après une double distributivité, garde une ligne avec les quatre produits avant de réduire. Elle rend tes signes vérifiables et protège ton résultat.
La forme finale compte
Lis le verbe de la consigne avant d’écrire ta réponse finale. Développée, factorisée ou résolue : la bonne forme est une partie de la réussite.
Développe et réduis chaque expression.
Factorise par le facteur commun le plus grand possible.
Développe, réduis et écris une ligne de produits intermédiaires.
Développe ou factorise selon l’expression donnée.
Calcule en utilisant une écriture factorisée adaptée.
Justifie quelle expression est égale à K = (x − 3)(x + 3), puis indique la forme à conserver pour résoudre K = 0.
Propositions : P = x² − 9 ; Q = x² + 9.
Rédige les calculs nécessaires et soigne la forme finale demandée.
| Erreur à éviter | Pourquoi | Le bon réflexe |
|---|---|---|
| Écrire 4(x − 3) = 4x − 3. | Le facteur 4 doit multiplier tous les termes de la parenthèse, y compris −3. | Écris les deux produits : 4 × x puis 4 × (−3), donc 4x − 12. |
| Écrire (x + 5)² = x² + 25. | Le carré d’une somme contient aussi le double produit 2 × x × 5. | Utilise l’identité complète : (x + 5)² = x² + 10x + 25. |
| Factoriser 8x + 12 en 4(x + 3). | En développant, 4(x + 3) donne 4x + 12 et non 8x + 12. | Cherche le facteur commun de chaque terme : 8x + 12 = 4(2x + 3). |
Demandez à votre enfant d’expliquer chaque transformation à voix haute, puis laissez-le rédiger seul.
Temps conseillé : ~15 min.
Non. Si une forme factorisée facilite le calcul, conserve-la. Par exemple, 9 × 48 = 9(50 − 2) permet un calcul mental rapide.
Cherche le plus grand facteur commun aux nombres et les lettres présentes dans tous les termes. Vérifie ensuite en développant.
Non. Il faut reconnaître exactement la forme d’un carré de somme, d’un carré de différence ou d’une différence de deux carrés.
Oui, lorsqu’un calcul doit être justifié. Les lignes intermédiaires montrent la distributivité utilisée et permettent d’obtenir les points de méthode.
Cinq formats prêts à utiliser : complète, élève, vidéoprojection, dys et noir et blanc. Gratuit, sans inscription.
Le QG