L'essentiel avec Coach Vince
PGCD signifie plus grand commun diviseur. Pour deux entiers naturels non nuls, le PGCD est le plus grand entier qui divise les deux nombres sans reste. On écrit PGCD(a ; b). Par exemple, les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18. Les diviseurs de 30 sont 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30. Les diviseurs communs à 18 et 30 sont donc 1, 2, 3 et 6. Le plus grand est 6 : PGCD(18 ; 30) = 6. Attention au mot commun : un diviseur doit diviser les deux nombres, pas un seul. Attention aussi au mot plus grand : 2 est bien un diviseur commun de 18 et 30, mais ce n’est pas leur PGCD. Le PGCD est toujours positif. Il ne peut pas être plus grand que le plus petit des deux nombres. Si l’un des nombres divise l’autre, le PGCD est le plus petit nombre. Ainsi, comme 12 divise 48, PGCD(12 ; 48) = 12. Pour un entier positif a, PGCD(a ; 1) = 1 et PGCD(a ; 0) = a. Le cas PGCD(0 ; 0) n’est pas utilisé ici. Quand PGCD(a ; b) = 1, les entiers a et b sont dits premiers entre eux. Cela ne signifie pas qu’ils sont eux-mêmes des nombres premiers. Par exemple, 8 et 15 sont premiers entre eux : aucun entier supérieur à 1 ne les divise tous les deux.
| Situation | Méthode efficace | Exemple de conclusion |
|---|---|---|
| Les nombres sont petits et leurs diviseurs sont faciles à lister. | Liste les diviseurs de chaque nombre, puis garde les diviseurs communs. | Les diviseurs communs de 12 et 20 sont 1, 2 et 4 : PGCD(12 ; 20) = 4. |
| Les nombres sont plus grands ou une justification est demandée. | Utilise les divisions euclidiennes successives jusqu’à obtenir un reste nul. | Le dernier reste non nul est le PGCD. |
| Tu dois simplifier une fraction. | Calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur, puis divise les deux par ce PGCD. | PGCD(45 ; 60) = 15, donc 45/60 = 3/4. |
| Tu dois faire le plus grand nombre possible de paquets identiques. | Calcule le PGCD des deux quantités : il donne le nombre maximal de paquets. | Avec 24 objets d’une sorte et 36 d’une autre, on peut faire 12 paquets. |
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Pour rendre une fraction irréductible, tu dois d’abord calculer le PGCD de son numérateur et de son dénominateur, à condition que le dénominateur ne soit pas nul. Divise ensuite le numérateur et le dénominateur par ce PGCD. Exemple : 252/198. Les divisions successives donnent PGCD(252 ; 198) = 18. Donc 252/198 = 14/11, car 252 ÷ 18 = 14 et 198 ÷ 18 = 11. La fraction 14/11 est irréductible puisque PGCD(14 ; 11) = 1. Diviser seulement le numérateur ou seulement le dénominateur changerait la valeur de la fraction : c’est interdit. Ne choisis pas non plus un diviseur commun au hasard si l’énoncé demande une fraction irréductible. Avec 45/60, diviser par 3 donne 15/20, qui est encore réductible. Le PGCD vaut 15, donc la forme irréductible est 3/4. Ton objectif est d’atteindre directement la forme finale, sans réduction incomplète.
Dans un problème de partage, le PGCD intervient lorsque tu dois fabriquer le plus grand nombre possible de groupes identiques, sans reste et en utilisant tous les objets. Les groupes doivent contenir la même quantité de chaque catégorie. Si tu as 84 jetons rouges et 126 jetons bleus, le nombre de groupes doit diviser 84 et 126. Il doit donc être un diviseur commun. Pour obtenir le plus grand nombre de groupes, tu cherches PGCD(84 ; 126). Or 126 = 84 × 1 + 42, puis 84 = 42 × 2 + 0. Ainsi, PGCD(84 ; 126) = 42. Tu peux former 42 groupes. Chaque groupe contient 84 ÷ 42 = 2 jetons rouges et 126 ÷ 42 = 3 jetons bleus. La réponse complète comporte toujours trois informations : le calcul du PGCD, le nombre de groupes et le contenu d’un groupe. Ne confonds pas le nombre de groupes avec le nombre total d’objets dans un groupe. Ici, 42 est le nombre de groupes ; chaque groupe contient 5 jetons au total. Lis précisément la question : si l’on demande le nombre maximal de groupes, la réponse est 42. Si l’on demande la composition d’un groupe, la réponse est 2 rouges et 3 bleus. Ton plan de jeu est simple : repère ce qui doit être identique, cherche le plus grand nombre qui divise toutes les quantités, puis effectue les divisions finales.
Tu dois souvent calculer un PGCD en justifiant les divisions successives, puis exploiter ce résultat pour réduire une fraction ou organiser un partage maximal sans reste.
Énoncé. Détermine PGCD(391 ; 299).
Résultat : PGCD(391 ; 299) = 23.
Énoncé. Rends la fraction 156/234 irréductible.
Résultat : 156/234 = 2/3.
Énoncé. Un club dispose de 96 gourdes et de 144 barres de céréales. Il veut préparer le plus grand nombre de lots identiques en utilisant tous les objets. Détermine le nombre de lots et leur composition.
Résultat : On peut préparer 48 lots identiques contenant chacun 2 gourdes et 3 barres de céréales.
Rédige la chaîne complète
Au brevet, écris les divisions euclidiennes avant d’annoncer le PGCD. Une conclusion du type « donc PGCD(252 ; 198) = 18 » sécurise ton raisonnement.
Vérifie la dernière étape
Pour une fraction, contrôle que le numérateur et le dénominateur obtenus sont premiers entre eux. Pour un partage, multiplie la composition d’un groupe par le nombre de groupes : tu dois retrouver les quantités de départ.
Détermine le PGCD de chaque paire en listant les diviseurs communs.
Indique si chaque paire est composée de nombres premiers entre eux.
Calcule chaque PGCD par la méthode des divisions successives.
Rends chaque fraction irréductible en utilisant le PGCD.
Complète les éléments manquants puis conclus.
Résous le problème en rédigeant une conclusion complète.
Une médiathèque possède 75 romans et 105 documentaires. Elle veut préparer le plus grand nombre de présentoirs identiques, sans livre restant. Détermine le nombre de présentoirs et leur composition.
Analyse chaque affirmation et justifie ta réponse.
« La fraction 84/126 est irréductible car 84 et 126 sont tous les deux pairs. »
« Si PGCD(a ; b) = 1, alors a et b sont deux nombres premiers. »
Détermine si la répartition demandée est possible, puis justifie par un calcul de PGCD.
Un organisateur a 184 badges verts et 138 badges jaunes. Il souhaite réaliser le plus grand nombre de sachets identiques, tous remplis et sans reste. Donne le nombre de sachets et le contenu de chacun.
Rédige les calculs nécessaires et soigne chaque conclusion.
| Erreur à éviter | Pourquoi | Le bon réflexe |
|---|---|---|
| Prendre le dernier quotient comme PGCD. | Dans les divisions successives, le PGCD est le dernier reste non nul, ou le dernier diviseur lorsque le reste devient nul. | Entoure le reste de chaque division et repère le dernier reste différent de 0. |
| Affirmer que deux nombres composés ne peuvent pas être premiers entre eux. | Être premiers entre eux signifie seulement que le PGCD vaut 1. | Cherche leur PGCD : 9 et 14 sont tous les deux différents de 1, mais PGCD(9 ; 14) = 1. |
| Simplifier une fraction en divisant seulement une fois par un petit diviseur commun. | La fraction peut rester réductible après cette division. | Calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur, puis divise les deux par ce PGCD. |
| Dans un partage, donner seulement le PGCD sans calculer le contenu d’un groupe. | Le PGCD donne souvent le nombre maximal de groupes, pas leur composition. | Après le PGCD, divise chaque quantité initiale par ce nombre et rédige une phrase de conclusion. |
Laissez-le chercher d’abord, puis demandez-lui d’expliquer ses lignes de calcul à voix haute.
Temps conseillé : ~20 min.
Non. Il peut être inférieur aux deux nombres, comme dans PGCD(18 ; 30) = 6. Il est égal à l’un des nombres seulement lorsque le plus petit divise le plus grand.
Non. Les nombres 8 et 15 sont premiers entre eux car leur PGCD vaut 1, mais 8 n’est pas un nombre premier.
À chaque division, les diviseurs communs des deux nombres concernés restent les mêmes. Quand le reste devient nul, le dernier reste non nul divise exactement le terme précédent : c’est le plus grand diviseur commun.
Utilise-les quand les nombres sont assez grands ou quand une justification est attendue. Pour de petits nombres, une liste de diviseurs peut être plus rapide si elle reste lisible.
Cinq formats prêts à utiliser : complète, élève, vidéoprojection, dys et noir et blanc. Gratuit, sans inscription.
Le QG