L'essentiel avec Coach Vince
Une équation est une égalité dans laquelle apparaît une lettre, appelée inconnue. Cette lettre représente un nombre que tu ne connais pas encore. Dans l'équation 4x − 7 = 13, le membre de gauche est 4x − 7 et le membre de droite est 13. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les valeurs de x qui rendent l'égalité vraie. Une telle valeur est une solution. Ici, x = 5 est une solution car 4 × 5 − 7 = 13. Attention : écrire x = 5 n'est pas une étape de calcul au hasard ; c'est une conclusion obtenue après des transformations justifiées. Une équation peut avoir une seule solution, aucune solution ou plusieurs solutions selon sa forme. Au programme, tu rencontres surtout les équations du premier degré à une inconnue et les équations produit nul. Une équation du premier degré peut se présenter sous la forme ax + b = cx + d, où a, b, c et d sont des nombres. L'inconnue x n'est jamais élevée au carré dans ce type d'équation. Avant de commencer, réduis chaque membre si nécessaire. Par exemple, dans 3x + 5 − x = 17, tu peux d'abord écrire 2x + 5 = 17. Ce réflexe évite des calculs inutiles. Coach Vince te le rappelle : lis l'égalité comme une balance. Tu dois conserver l'équilibre à chaque ligne.
| Situation | Transformation possible | Exemple rédigé |
|---|---|---|
| Un même nombre est ajouté ou soustrait | Ajoute ou soustrais ce nombre aux deux membres. | x − 6 = 9, donc x − 6 + 6 = 9 + 6, puis x = 15. |
| Les deux membres sont multipliés | Multiplie les deux membres par le même nombre non nul. | x ÷ 3 = 4, donc 3 × (x ÷ 3) = 3 × 4, puis x = 12. |
| Les deux membres sont divisés | Divise par le même nombre, seulement si ce nombre est différent de 0. | −4x = 20, donc x = 20 ÷ (−4), soit x = −5. |
| Une expression contient des parenthèses | Développe correctement avant de regrouper les termes. | 3(x − 2) = 15 devient 3x − 6 = 15, puis 3x = 21. |
La règle du produit nul s'applique uniquement lorsqu'un membre de l'équation est un produit et que l'autre membre vaut 0. Si A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0. Réciproquement, si A = 0 ou B = 0, alors A × B = 0. Pour résoudre (x − 5)(2x + 1) = 0, applique la règle à chaque facteur : x − 5 = 0 ou 2x + 1 = 0. La première équation donne x = 5. La seconde donne 2x = −1, donc x = −½. L'équation possède donc deux solutions : 5 et −½. Ne divise pas par x − 5 ou par 2x + 1 : l'un de ces facteurs peut justement être nul. Si l'équation est x² − 9 = 0, tu dois d'abord factoriser : x² − 3² = (x − 3)(x + 3). Tu obtiens alors x = 3 ou x = −3. La factorisation est la clé qui transforme une expression en produit.
Dans un problème, tu ne commences pas par calculer : tu choisis d'abord clairement l'inconnue. Écris une phrase telle que « On note x le prix d'un carnet en euros. » Ensuite, traduis chaque information avec x. Si trois carnets identiques et un stylo à 2 € coûtent 17 €, la situation devient 3x + 2 = 17. Résous : 3x = 15, donc x = 5. Termine par une phrase adaptée au contexte : « Un carnet coûte 5 €. » L'unité est indispensable si la grandeur en possède une. Pour réussir la traduction, repère les mots importants. « Somme » indique une addition ; « différence » indique une soustraction ; « le double » signifie 2x ; « trois de plus » signifie x + 3. Évite l'expression « trois fois moins », car elle est ambiguë dans l'usage courant. Si l'énoncé précise qu'une quantité est le tiers d'une autre, tu traduis alors cette information par une division par 3. Dessine un schéma simple ou fais un tableau si les données sont nombreuses. Dans un problème de longueurs, vérifie qu'une solution est compatible avec la situation : une longueur ne peut pas être négative. Dans un problème d'objets, vérifie aussi si le résultat doit être entier. Une équation peut fournir un résultat exact, mais le contexte permet de décider s'il est acceptable. La finale est toujours la même : réponse au problème, unité, puis vérification rapide.
Certaines équations donnent un résultat surprenant, mais parfaitement logique. Pour 4x + 3 = 4x + 8, soustrais 4x aux deux membres : 3 = 8. Cette égalité est fausse ; l'équation n'a donc aucune solution. Pour 5x − 2 = 5x − 2, soustrais 5x aux deux membres : −2 = −2. Cette égalité est toujours vraie ; tous les nombres sont solutions. Ces cas apparaissent surtout quand l'inconnue est présente dans les deux membres. Ne les transforme jamais en x = 0 : ce serait une conclusion inventée. Soigne aussi les signes. De −3x = 12, tu trouves x = −4, car 12 ÷ (−3) = −4. De x − 9 = −2, tu ajoutes 9 aux deux membres et obtiens x = 7. Quand tu développes −2(x − 4), le signe négatif agit sur les deux termes : −2x + 8. Enfin, la vérification ne remplace pas les étapes de résolution, mais elle détecte beaucoup d'erreurs de signe. Écris par exemple : « Vérification : pour x = 7, 2x − 5 = 9 et 3 + x = 10 » si les membres ne sont pas égaux ; tu constates alors immédiatement que ta valeur est fausse. Une rédaction nette est ton meilleur allié : transformations légales, calculs lisibles, conclusion encadrée.
Tu dois résoudre une équation en montrant les transformations, ou choisir une inconnue puis traduire les données d'un problème par une équation.
Énoncé. Résous l'équation 6x − 5 = 2x + 11.
Résultat : L'équation admet une unique solution : x = 4.
Énoncé. Résous l'équation x² − 5x = 0.
Résultat : Les solutions sont 0 et 5.
Énoncé. Un rectangle a une largeur de 4 cm et un périmètre de 26 cm. Détermine sa longueur.
Résultat : La longueur du rectangle est 9 cm.
Aligne tes égalités
Une ligne correspond à une transformation précise appliquée aux deux membres. Au brevet, une rédaction lisible permet de repérer immédiatement une erreur de signe.
Garde la vérification pour la finale
Remplace la solution dans l'équation de départ, pas dans une ligne intermédiaire. Si les deux membres donnent le même nombre, ta conclusion est solide.
Résous chaque équation.
Résous chaque équation.
Résous en détaillant les transformations.
7x + 4 = 3x + 20
2(x + 3) = x + 11
Résous en utilisant la règle du produit nul.
Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse, puis justifie.
Factorise chaque membre de gauche, puis résous l'équation.
Choisis une inconnue, mets le problème en équation et rédige la conclusion.
Un rectangle a une longueur égale au double de sa largeur. Son périmètre est 36 cm. Détermine ses dimensions.
Rédige les calculs nécessaires et vérifie toute solution obtenue.
| Erreur à éviter | Pourquoi | Le bon réflexe |
|---|---|---|
| Écrire 5x − 4 = 11 puis 5x = 11 − 4. | Pour supprimer −4 du membre de gauche, il faut ajouter 4 aux deux membres. | Écris l'opération complète : 5x − 4 + 4 = 11 + 4, puis 5x = 15. |
| Appliquer la règle du produit nul à x + 3 = 0. | Il n'y a pas de produit de facteurs dans cette équation. | Isole directement x : x = −3. Utilise la règle seulement pour une expression de la forme A × B = 0. |
| Oublier une solution dans une équation produit nul. | Chaque facteur nul donne une équation à résoudre. | Écris systématiquement les deux branches avec le mot « ou ». |
| Conclure sans vérifier dans un problème. | Une erreur de traduction ou de signe peut donner un résultat incompatible avec la situation. | Remplace la valeur trouvée dans la relation du problème et rédige une phrase avec l'unité. |
Laissez votre adolescent chercher seul quelques minutes, puis demandez-lui d'expliquer chaque transformation à voix haute.
Temps conseillé : ~15 min.
Oui, surtout dans une rédaction complète ou dans un problème. La vérification confirme que la valeur rend bien l'égalité vraie.
Parce que tu modifies les deux côtés de l'égalité de manière identique : l'équilibre est conservé.
Uniquement quand l'équation est sous la forme d'un produit égal à 0, par exemple (x − 2)(3x + 1) = 0.
Oui, dès qu'une résolution est demandée ou attendue. Une réponse seule peut ne pas suffire à montrer ta méthode.
Cinq formats prêts à utiliser : complète, élève, vidéoprojection, dys et noir et blanc. Gratuit, sans inscription.
Le QG