L'essentiel avec Coach Vince
La racine carrée est une opération définie pour les nombres positifs ou nuls. Pour tout nombre a tel que a ≥ 0, √a désigne l’unique nombre positif ou nul dont le carré est égal à a. Ainsi, √25 = 5 car 5² = 25. De même, √0 = 0 car 0² = 0. Le symbole √ se lit « racine carrée de ». Il ne faut pas le confondre avec une puissance : dans 5², tu cherches le carré de 5 ; dans √25, tu cherches le nombre dont le carré donne 25.<br><br>La racine carrée est toujours positive ou nulle. C’est une règle essentielle : √81 = 9, et non −9, puisque le symbole √ désigne seulement la racine positive ou nulle. Pourtant, les deux nombres 9 et −9 ont pour carré 81. Cette différence apparaît quand tu résous une équation. Si x² = 81, alors x = 9 ou x = −9. En revanche, √81 = 9 uniquement. Retenir cette distinction t’évite une confusion très fréquente.<br><br>Certains nombres ont une racine carrée entière : ce sont les carrés parfaits. Tu dois connaître rapidement 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 et 100. Par exemple, √64 = 8 car 8² = 64. À l’inverse, 50 n’est pas un carré parfait : √50 n’est donc pas un entier. Il peut néanmoins s’écrire sous une forme exacte simplifiée ou recevoir une valeur approchée. Pour démarrer correctement, vérifie toujours si le nombre sous le radical est un carré parfait.
| Situation | Écriture attendue | Justification |
|---|---|---|
| Le nombre sous le radical est un carré parfait | √144 = 12 | 12² = 144 : le résultat est exact. |
| Le nombre peut être simplifié grâce à un facteur carré parfait | √75 = 5√3 | 75 = 25 × 3, donc √75 = √25 × √3 = 5√3. |
| Tu veux une écriture décimale | √10 ≈ 3,16 | Le symbole ≈ indique que 3,16 n’est pas la valeur exacte. |
| Tu encadres une racine | 6 < √40 < 7 | 6² = 36 et 7² = 49, or 36 < 40 < 49. |
Soient a et b deux nombres positifs ou nuls. Tu peux écrire √(a × b) = √a × √b. Cette égalité est utile pour faire sortir un carré parfait du radical. Par exemple, √(16 × 7) = √16 × √7 = 4√7. Tu peux aussi l’utiliser dans l’autre sens : 3√5 = √9 × √5 = √45.<br><br>Pour un quotient, la règle √(a ÷ b) = √a ÷ √b est valable si a ≥ 0 et b > 0. Le dénominateur ne peut jamais être nul. Par exemple, √(49 ÷ 4) = √49 ÷ √4 = 7 ÷ 2 = 3,5. Cette écriture est exacte car 3,5² = 12,25 et 49 ÷ 4 = 12,25.<br><br>Ces règles concernent uniquement les produits et les quotients de nombres positifs ou nuls. Elles ne donnent aucune règle pour une addition, une soustraction ou une puissance quelconque. Garde la structure du calcul sous les yeux : produit, quotient, somme ou différence ne se traitent pas de la même manière.
Les racines carrées interviennent souvent après le théorème de Pythagore. Ce théorème s’applique uniquement dans un triangle rectangle. Si un triangle ABC est rectangle en A, alors le côté opposé à l’angle droit, BC, est l’hypoténuse et vérifie BC² = AB² + AC². Si tu cherches la longueur BC, tu obtiens d’abord son carré, puis tu prends une racine carrée : BC = √(AB² + AC²). Comme une longueur est positive, tu conserves la racine carrée positive.<br><br>Supposons que AB = 9 cm et AC = 12 cm dans un triangle rectangle en A. Tu rédiges : « D’après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC². Donc BC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. Ainsi BC = √225 = 15. » La conclusion complète est : « BC mesure 15 cm. » Les unités apparaissent à la fin, après le calcul. Ne saute pas directement de 9 et 12 à 15 : la ligne contenant le théorème justifie ton raisonnement.<br><br>Quand le résultat n’est pas un carré parfait, garde d’abord la forme exacte. Avec AB = 5 cm et AC = 7 cm, tu obtiens BC² = 5² + 7² = 74, donc BC = √74 cm. Si l’énoncé demande un arrondi au dixième, écris ensuite BC ≈ 8,6 cm. La valeur exacte √74 est plus précise ; la valeur décimale dépend de l’arrondi choisi. Lis donc la consigne jusqu’au dernier mot.<br><br>Dernière vérification : l’hypoténuse est le plus long côté du triangle rectangle. Dans l’exemple avec 5 cm et 7 cm, une hypothénuse proche de 8,6 cm est cohérente puisqu’elle dépasse 7 cm. Cette vérification ne remplace pas la démonstration, mais elle repère une erreur de touche, de carré ou d’addition. Reste précis : définition, règle adaptée, calcul ordonné, puis conclusion.
Tu peux devoir simplifier une racine carrée, donner un arrondi, contrôler une égalité ou calculer une longueur avec Pythagore.
Énoncé. Écris √180 sous la forme a√b, avec b le plus petit possible.
Résultat : √180 = 6√5.
Énoncé. Le triangle DEF est rectangle en D. DE = 8 cm et DF = 15 cm. Calcule EF.
Résultat : EF mesure 17 cm.
Énoncé. Encadre √45 entre deux entiers consécutifs, puis donne sa valeur approchée au dixième.
Résultat : 6 < √45 < 7 et √45 ≈ 6,7.
Annonce la règle utile
Avant de simplifier, écris la décomposition qui contient un carré parfait. Dans un triangle rectangle, cite d’abord le théorème de Pythagore avant de remplacer les longueurs.
Fais le contrôle final
Une valeur approchée doit porter le symbole ≈, jamais le signe =. Pour une longueur, vérifie que l’hypoténuse obtenue est plus grande que les deux autres côtés.
Calcule chaque racine carrée.
Complète avec = ou ≈.
Choisis la seule égalité vraie.
Simplifie chaque écriture.
Calcule en utilisant la règle du quotient lorsque ses conditions sont vérifiées.
Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse, puis corrige-la si nécessaire.
Rédige le calcul de la longueur AC.
Le triangle ABC est rectangle en B. AB = 7 cm et BC = 9 cm. Calcule AC sous forme exacte, puis donne un arrondi au dixième.
Justifie laquelle des deux égalités est correcte.
Un élève affirme que √75 = 5√3. Un autre affirme que √75 = 3√5. Qui a raison ?
Réponds sans calculatrice sauf lorsqu’une valeur approchée est demandée. Rédige les justifications nécessaires.
| Erreur à éviter | Pourquoi | Le bon réflexe |
|---|---|---|
| Écrire √49 = ±7. | √49 désigne par définition le nombre positif ou nul dont le carré vaut 49. | Écris √49 = 7 ; utilise ± seulement pour résoudre une équation comme x² = 49. |
| Écrire √(9 + 16) = √9 + √16. | La règle de séparation est valable pour un produit de nombres positifs ou nuls, pas pour une somme. | Calcule d’abord l’intérieur du radical : √(9 + 16) = √25 = 5. |
| Remplacer √18 par 9√2. | 18 = 9 × 2, mais √9 = 3 et non 9. | Écris chaque étape : √18 = √9 × √2 = 3√2. |
| Conclure qu’une longueur vaut −12 cm après une racine carrée. | Une longueur est positive et √144 vaut 12. | Après Pythagore, choisis la valeur positive et rédige la phrase de conclusion avec l’unité. |
Laisse ton adolescent chercher seul quelques minutes, puis demande-lui d’expliquer sa première étape à voix haute.
Temps conseillé : ~15 min.
Le symbole √ désigne toujours la racine carrée positive ou nulle. En revanche, 8 et −8 sont les deux solutions de l’équation x² = 64.
Utilise-la lorsqu’une valeur approchée est demandée. Si une valeur exacte est possible, comme √81 ou √72 = 6√2, donne d’abord cette écriture exacte.
Cherche si le nombre sous le radical contient un facteur qui est un carré parfait supérieur à 1. Par exemple, 48 = 16 × 3, donc √48 = 4√3.
Tu peux garder les nombres seuls pendant les lignes de calcul, mais ta conclusion doit indiquer clairement la longueur et son unité.
Cinq formats prêts à utiliser : complète, élève, vidéoprojection, dys et noir et blanc. Gratuit, sans inscription.
Le QG