Les nombres premiers en 3ᵉ : cours, exercices et méthode pour le brevet

Le point de départ : reconnaître un nombre premier

Un nombre premier est un entier positif qui possède exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même. Ainsi, 2 est premier car ses seuls diviseurs sont 1 et 2. Le nombre 13 est aussi premier : aucun entier autre que 1 et 13 ne le divise. En revanche, 15 n’est pas premier, car 15 = 3 × 5 : il possède notamment 1, 3, 5 et 15 comme diviseurs. Un nombre qui n’est pas premier et qui est supérieur à 1 est appelé composé. Le nombre 1 est un cas à connaître parfaitement : il n’est pas premier, car il n’a qu’un seul diviseur positif, lui-même. Il n’est pas composé non plus. Le nombre 2 est le seul nombre premier pair. Tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2 et sont donc composés. Ne confonds pas « impair » et « premier » : 9, 15, 21 et 25 sont impairs, mais ils sont composés. Pour justifier qu’un entier n’est pas premier, il suffit d’exhiber une décomposition en produit de deux entiers supérieurs à 1. Par exemple, 57 = 3 × 19 ; donc 57 n’est pas premier. Pour justifier qu’un entier est premier, tu dois vérifier qu’il n’est divisible par aucun nombre premier pertinent. Ce n’est pas une question d’intuition : tu appliques les critères de divisibilité et tu conclus avec précision.

Des tests rapides avant de chercher plus loin

Tester un nombre : un plan de jeu efficace

• Commence par les cas particuliers. Si le nombre vaut 1, il n’est pas premier. S’il vaut 2, 3 ou 5, il est premier.
• Utilise les critères de divisibilité par 2, 3 et 5. Ils éliminent rapidement beaucoup de nombres composés.
• Si le nombre résiste, teste les nombres premiers dans l’ordre : 7, 11, 13, puis les suivants si nécessaire. Il est inutile de tester un nombre composé : si un entier est divisible par 9, il est déjà divisible par 3.
• Arrête les essais dès que le diviseur testé dépasse √n. En effet, si n = a × b avec a et b supérieurs à 1, l’un des deux facteurs est inférieur ou égal à √n. Donc, si aucun diviseur premier inférieur ou égal à √n ne divise n, n est premier.
• Rédige une conclusion complète. Pour 97 : « 97 n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7. Or √97 ≈ 9,8. 97 est donc premier. »
• Ne transforme pas ce test en liste interminable. Pour 101, √101 est un peu supérieur à 10 : tu testes seulement 2, 3, 5 et 7. Il ne sert à rien de tester 11, car 11 est supérieur à √101.
• Garde les diviseurs positifs dans ton raisonnement. Les nombres négatifs peuvent diviser un entier, mais la définition scolaire d’un nombre premier porte sur ses diviseurs positifs.

Décomposer un entier en produit de facteurs premiers

Utiliser les décompositions : fractions, diviseurs, PGCD et PPCM

La décomposition en facteurs premiers devient utile quand deux entiers apparaissent dans le même calcul. Pour simplifier une fraction, décompose le numérateur et le dénominateur, puis supprime seulement les facteurs communs. Par exemple, 84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7. Donc 84 ÷ 126 = (2 × 3 × 7) ÷ (3 × 7) = 2 ÷ 3. Tu ne peux jamais supprimer un terme dans une somme ou une différence : la simplification par facteurs concerne un produit. La décomposition permet aussi de déterminer les diviseurs. Si 72 = 2³ × 3², un diviseur positif de 72 s’obtient en choisissant une puissance de 2 parmi 2⁰, 2¹, 2², 2³ et une puissance de 3 parmi 3⁰, 3¹, 3². Ici, 2⁰ vaut 1. Par exemple, 2² × 3 = 12 divise 72. En revanche, 2⁴ × 3 ne divise pas 72, car la puissance de 2 est trop grande. Pour calculer le PGCD de deux entiers, conserve les facteurs premiers communs avec les plus petits exposants. Avec 48 = 2⁴ × 3 et 60 = 2² × 3 × 5, le PGCD vaut 2² × 3 = 12. Pour calculer le PPCM, prends tous les facteurs premiers présents avec les plus grands exposants : 2⁴ × 3 × 5 = 240. Le PGCD sert notamment à réduire une fraction au maximum ; le PPCM sert à chercher un multiple commun. À chaque fois, pose les décompositions avant de choisir les facteurs. Cette étape protège ton calcul et rend ta justification lisible.