Les systèmes d'équations en 3ᵉ : cours, exercices et méthode pour le brevet

Comprendre ce que tu cherches

Un système de deux équations à deux inconnues est un ensemble de deux égalités contenant les mêmes inconnues, souvent notées x et y. Résoudre le système consiste à trouver tous les couples (x ; y) qui rendent simultanément les deux égalités vraies. Le mot simultanément est décisif : une valeur qui vérifie une seule équation n’est pas une solution du système. Par exemple, dans le système « x + y = 7 » et « 2x − y = 2 », le couple (3 ; 4) convient : 3 + 4 = 7 et 2 × 3 − 4 = 2. Il est donc solution. En revanche, le couple (2 ; 5) vérifie bien la première égalité, car 2 + 5 = 7, mais il ne vérifie pas la seconde, car 2 × 2 − 5 = −1. Il doit être refusé.<br><br>Graphiquement, chaque équation du premier degré à deux inconnues correspond à une droite. Une solution commune correspond alors à un point commun aux deux droites. Si les droites se coupent, le système possède une solution unique. Si elles sont parallèles et distinctes, il n’existe aucune solution. Si elles sont confondues, tous les couples d’une même droite sont solutions : il y en a une infinité. Les méthodes algébriques permettent de conclure sans tracer. Elles demandent une rédaction rigoureuse : tu annonces la méthode, tu conserves les signes et tu vérifies le couple final dans les deux équations.

Choisir une méthode adaptée

La substitution, étape après étape

• Utilise la substitution lorsqu’une inconnue est isolée ou peut l’être sans calcul lourd. Dans le système « x + y = 11 » et « 3x − y = 1 », isole par exemple y dans la première équation : y = 11 − x.
• Remplace exactement y par l’expression trouvée dans l’autre équation. Les parenthèses sont indispensables si l’expression est précédée d’un signe moins ou multipliée : 3x − (11 − x) = 1. Elles protègent les signes.
• Résous l’équation à une inconnue : 3x − 11 + x = 1, donc 4x − 11 = 1, puis 4x = 12 et x = 3. À ce moment, tu connais une seule coordonnée du couple.
• Reprends l’expression isolée pour calculer l’autre inconnue : y = 11 − 3, donc y = 8. Tu peux aussi remplacer x par 3 dans l’une des équations de départ, mais l’expression isolée est souvent plus rapide.
• Écris la solution sous la forme S = {(3 ; 8)}. Vérifie : 3 + 8 = 11 et 3 × 3 − 8 = 1. Les deux égalités sont vraies ; le couple est validé.
• Si tu obtiens une égalité toujours vraie, comme 0 = 0, après substitution, les deux équations représentent la même condition : le système a une infinité de solutions. Si tu obtiens une égalité impossible, comme 0 = 5, les conditions sont incompatibles : le système n’a pas de solution.

Combinaison linéaire : une opération autorisée sous condition

Mettre un problème en système

Dans un problème, commence par définir clairement les inconnues avec leur unité. Si un parking contient des voitures et des motos, tu peux écrire : « x est le nombre de voitures et y est le nombre de motos. » Traduis ensuite chaque information par une équation. Le nombre total de véhicules donne une somme, par exemple x + y = 18. Si chaque voiture a quatre roues et chaque moto en a deux, un total de roues donne 4x + 2y = 54. Tu obtiens un système. La solution doit avoir un sens dans le contexte : ici, x et y doivent être des nombres entiers positifs. Résolvons par substitution : y = 18 − x. Alors 4x + 2(18 − x) = 54, donc 4x + 36 − 2x = 54, puis 2x = 18 et x = 9. Ainsi y = 9. La phrase-réponse est : « Le parking contient 9 voitures et 9 motos. »<br><br>Relis toujours l’énoncé après le calcul. Une solution négative peut être algébriquement correcte mais impossible pour un nombre d’objets ; elle signale souvent une mauvaise traduction ou des données incompatibles. Ne confonds pas non plus un total d’objets avec un total de prix ou de longueurs : chaque équation doit représenter une information précise. Pour un prix, garde la même unité partout. Pour des âges, vérifie que les résultats sont cohérents. Ton plan de jeu est fixe : définir, traduire, résoudre, vérifier, conclure avec les mots de la situation.