Les probabilités en 3ᵉ : cours, méthodes et exercices pour le brevet

Comprendre ce que l’on calcule

Une expérience aléatoire est une situation dont on connaît les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir avec certitude le résultat avant de la réaliser. Lancer un dé, tirer une carte ou choisir au hasard une boule dans une urne sont des expériences aléatoires. Les résultats possibles s’appellent les issues. L’ensemble de toutes les issues forme l’univers, souvent noté Ω. Si tu lances un dé équilibré à six faces, Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. Écrire l’univers évite les oublis : c’est le départ propre de ton raisonnement.

Un événement est un ensemble d’une ou plusieurs issues. Avec le dé, l’événement A : « obtenir un nombre pair » correspond aux issues {2 ; 4 ; 6}. L’événement B : « obtenir un nombre strictement supérieur à 6 » est impossible, car aucune issue de l’univers ne le réalise. Sa probabilité est 0. À l’inverse, l’événement C : « obtenir un nombre compris entre 1 et 6 » est certain : toutes les issues le réalisent. Sa probabilité est 1.

Une probabilité est toujours un nombre compris entre 0 et 1. Elle peut s’écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage. Par exemple, 3/4 = 0,75 = 75 %. Une probabilité de 0,2 ne signifie pas que l’événement va forcément se produire deux fois sur dix essais : elle indique une tendance sur un grand nombre de répétitions dans les mêmes conditions. Reste précis : une probabilité parle d’une chance, pas d’une certitude.

La formule à utiliser en équiprobabilité

Vocabulaire indispensable

Calculer sans brûler les étapes

Voici ton plan de jeu pour une expérience simple. D’abord, identifie l’expérience et vérifie que les issues sont équiprobables. Ensuite, écris l’univers ou indique clairement son nombre d’issues. Puis définis l’événement demandé et compte les issues favorables. Enfin, applique la formule, simplifie la fraction si possible et interprète le résultat.

Exemple : une roue équilibrée porte les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8. On note A l’événement « obtenir un multiple de 3 ». L’univers contient 8 issues équiprobables. Les issues favorables sont 3 et 6 : il y en a 2. Donc P(A) = 2/8 = 1/4. Tu peux conclure : la probabilité d’obtenir un multiple de 3 est 1/4. Ne compte pas le nombre 0 s’il n’est pas écrit sur la roue, et ne confonds pas multiple de 3 avec chiffre contenant un 3.

L’événement contraire de A se note souvent non A. Il contient toutes les issues de l’univers qui ne sont pas dans A. Si A est « obtenir un nombre pair » avec un dé, non A est « obtenir un nombre impair ». Les probabilités vérifient P(A) + P(non A) = 1. Cette égalité est valable parce que, pour chaque résultat, exactement un des deux événements se produit. Elle permet souvent un calcul plus rapide. Par exemple, sur un dé, P(obtenir au moins 2) = 1 − P(obtenir 1) = 1 − 1/6 = 5/6.

Deux événements peuvent être incompatibles : ils ne peuvent pas se réaliser en même temps lors d’une même expérience. « Obtenir 2 » et « obtenir 5 » sur un seul lancer sont incompatibles. Si A et B sont incompatibles, P(A ou B) = P(A) + P(B). Cette règle est valable UNIQUEMENT lorsque A et B n’ont aucune issue commune. Pour « obtenir un nombre pair » et « obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 », les événements ont en commun 4 et 6 : additionner directement leurs probabilités compterait deux fois ces issues.

Choisir la bonne écriture

• Écris une fraction quand tu comptes des issues : elle montre immédiatement ton raisonnement.
• Simplifie la fraction finale : 4/12 devient 1/3.
• Utilise un pourcentage seulement si la question le demande ou si tu interprètes une fréquence attendue.
• Écris P(A) = 0 pour un événement impossible et P(A) = 1 pour un événement certain.
• Vérifie que ton résultat est entre 0 et 1 : 7/6 signale forcément une erreur de comptage ou de dénominateur.

Deux épreuves : arbre, tableau et produit

Une expérience à deux épreuves comporte deux choix successifs, par exemple lancer deux fois une pièce ou tirer deux jetons l’un après l’autre. Tu dois distinguer deux situations. Lorsqu’on remet le premier jeton dans l’urne avant le second tirage, la composition de l’urne ne change pas : les probabilités du second tirage restent les mêmes. Lorsqu’on ne remet pas le jeton, la composition change : les probabilités du second tirage dépendent du premier résultat.

L’arbre de probabilités est particulièrement utile quand les probabilités changent. Pour le construire, trace d’abord une branche par résultat possible de la première épreuve. À partir de l’extrémité de chacune de ces branches, trace les branches correspondant aux résultats possibles de la seconde épreuve. Inscris ensuite les probabilités sur chaque branche en tenant compte, si besoin, des jetons retirés. Chaque chemin complet correspond à un résultat de l’expérience. Pour calculer la probabilité d’un chemin, tu multiplies les probabilités inscrites sur ses branches. Cette règle s’applique à un chemin précis : « rouge puis bleu », par exemple. Dans une urne contenant 3 jetons rouges et 2 jetons bleus, on tire deux jetons sans remise. La probabilité de rouge puis bleu est 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10. Après avoir tiré un rouge, il reste 2 rouges et 2 bleus sur 4 jetons : voilà pourquoi la seconde fraction est 2/4.

Pour calculer un événement réalisable par plusieurs chemins, additionne les probabilités de ces chemins lorsqu’ils sont incompatibles. Dans la même urne, « obtenir une boule de chaque couleur » correspond à rouge puis bleu ou bleu puis rouge. Ces deux ordres ne peuvent pas arriver simultanément. P(une boule de chaque couleur) = 3/5 × 2/4 + 2/5 × 3/4 = 6/20 + 6/20 = 12/20 = 3/5.

Un tableau à double entrée est pratique lorsque les deux épreuves ont le même nombre de résultats simples, comme deux lancers de dé. Pour le construire, place les résultats du premier lancer en ligne et ceux du second lancer en colonne. Chaque case représente alors un couple ordonné, par exemple (2 ; 5), ou la somme correspondante si la question porte sur les sommes. Avec deux dés équilibrés, il y a 6 × 6 = 36 couples équiprobables. Pour « obtenir une somme égale à 7 », les couples favorables sont (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2) et (6 ; 1). Donc la probabilité vaut 6/36 = 1/6. Attention : (2 ; 5) et (5 ; 2) sont deux chemins distincts, même si leur somme est identique.

Fréquence observée et probabilité