Le QG Sujet et corrigé du brevet de mathématiques 2022
Voici le sujet de mathématiques du brevet 2022, série générale, avec son énoncé et son corrigé détaillé exercice par exercice. Cinq exercices : géométrie au bord d’une rivière, QCM, cartes à partager, aires et Scratch, fuite d’eau. Chaque question est reprise avec la méthode et le calcul.
Le sujet de 2022 en bref
Le sujet de mathématiques de la série générale, session 2022 (sujet de France métropolitaine, Antilles et Guyane, code 22GENMATMEAG1), dure 2 h 00 et est noté sur 100 points : cinq exercices de 20 points chacun. La calculatrice est autorisée, le dictionnaire est interdit. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf indication contraire, et une recherche qui n’aboutit pas est prise en compte dans la notation.
Un sujet de l’ancienne formule. En 2022, l’épreuve se composait de cinq exercices notés sur 100 points, avec la calculatrice du début à la fin. Depuis la session 2026, elle dure toujours 2 h 00 mais elle s’ouvre par des automatismes sans calculatrice (6 points, 20 minutes), suivis de 14 points de raisonnement et de résolution de problèmes en 1 h 40 : la nouvelle formule se travaille sur le sujet de maths du brevet 2026 et son corrigé. Les exercices de 2022 restent un entraînement utile pour cette seconde partie.
L’énoncé reproduit ci-dessous suit le document publié par le ministère de l’Éducation nationale sur Éduscol : sujet officiel de mathématiques du brevet 2022 (PDF). Chaque exercice est suivi de son corrigé : cache-le, cherche, puis compare.
Exercice 1 : la largeur d’une rivière, Thalès et vitesse (20 points)
Une famille se promène au bord d’une rivière. Les enfants aimeraient connaître la largeur de la rivière. Ils prennent des repères, comptent leurs pas et dessinent le schéma ci-dessous sur lequel les points C, E et D, de même que A, E et B sont alignés. (Le schéma n’est pas à l’échelle.)
1. Démontrer que les droites (AC) et (BD) sont parallèles.
2. Déterminer, en nombre de pas, la largeur AC de la rivière.
Pour les questions qui suivent, on assimile la longueur d’un pas à 65 cm.
3. Montrer que la longueur CE vaut 13,3 m, en arrondissant au décimètre près.
4. L’un des enfants lâche un bâton dans la rivière au niveau du point E. Avec le courant, le bâton se déplace en ligne droite en 5 secondes jusqu’au point C.
a. Calculer la vitesse du bâton en m/s.
b. Est-il vrai que « le bâton se déplace à une vitesse moyenne inférieure à 10 km/h » ?
Corrigé de l’exercice 1
- 1. Sur le schéma, les deux angles droits codés indiquent que (AC) est perpendiculaire à (AB) en A et que (BD) est perpendiculaire à (AB) en B. Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. Donc les droites (AC) et (BD) sont parallèles.
- 2. Les droites (AB) et (CD) sont sécantes en E, et les droites (AC) et (BD) sont parallèles d’après la question 1. D’après le théorème de Thalès, EA ÷ EB = EC ÷ ED = AC ÷ BD. Avec les longueurs du schéma, 20 ÷ 5 = AC ÷ 1, donc AC = 20 × 1 ÷ 5 = 4. La rivière a une largeur de 4 pas.
- 3. Convertis d’abord les longueurs en mètres : AC = 4 × 65 = 260 cm = 2,6 m et AE = 20 × 65 = 1 300 cm = 13 m. Le triangle ACE est rectangle en A, donc le théorème de Pythagore donne CE² = AC² + AE² = 2,6² + 13² = 6,76 + 169 = 175,76. Donc CE = √175,76 ≈ 13,26 m, soit 13,3 m en arrondissant au décimètre près. Autre chemin : calculer CE en pas (√416, environ 20,4 pas), puis multiplier par 0,65 m.
- 4. a. Pour calculer une vitesse moyenne, tu divises la distance parcourue par la durée du trajet : v = d ÷ t. Le bâton parcourt la distance CE = 13,3 m en 5 s, donc v = 13,3 ÷ 5 = 2,66. La vitesse du bâton est de 2,66 m/s.
- 4. b. Il faut convertir la vitesse en km/h pour la comparer à 10 km/h. En 1 heure, soit 3 600 s, le bâton parcourrait 2,66 × 3 600 = 9 576 m, c’est-à-dire 9,576 km : sa vitesse est donc d’environ 9,6 km/h. Comme 9,6 est inférieur à 10, l’affirmation est vraie. Tu peux aussi multiplier directement la vitesse en m/s par 3,6 pour l’obtenir en km/h : 2,66 × 3,6 = 9,576.
Exercice 2 : un QCM en cinq questions (20 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée. Pour chaque question, trois réponses (A, B et C) sont proposées. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse.
Question 1. On considère les deux figures suivantes. Par quelle transformation la figure 2 est-elle l’image de la figure 1 ?
A. Une translation B. Une homothétie C. Une symétrie axiale
Question 2. On considère la représentation graphique de la fonction g suivante. Quel est l’antécédent de 2 par la fonction g ?
A. 2 B. 1 C. 4
Question 3. Soit f la fonction définie par f : x ↦ 3x² − 7. Quelle affirmation est correcte ?
A. 29 est l’image de 2 par la fonction f. B. f(3) = 20 C. f est une fonction affine.
Question 4. On a relevé les performances, en mètres, obtenues au lancer du poids par un groupe de 13 élèves d’une classe.
3,41 m ; 5,25 m ; 5,42 m ; 4,3 m ; 6,11 m ; 4,28 m ; 5,15 m ; 3,7 m ; 6,07 m ; 5,82 m ; 4,62 m ; 4,91 m ; 4,01 m
Quelle est la médiane de cette série de valeurs ?
A. 7 B. 4,91 C. 5,15
Question 5. On considère la configuration suivante, dans laquelle les triangles LAC et BUT sont semblables. Par quel nombre doit-on multiplier l’aire du triangle LAC pour obtenir l’aire du triangle BUT ?
A. 3 B. 6 C. 9
Corrigé de l’exercice 2
- Question 1. La figure 2 a la même taille et la même orientation que la figure 1 : elle a seulement glissé de 3 carreaux vers la droite et de 1 carreau vers le bas, comme le montrent les trois flèches parallèles et de même longueur. C’est donc une translation (réponse A). Une homothétie aurait changé la taille de la figure ou lui aurait fait faire un demi-tour, et une symétrie axiale l’aurait retournée.
- Question 2. L’antécédent de 2 est le nombre dont l’image par g vaut 2 : tu pars de 2 sur l’axe des ordonnées et tu lis l’abscisse du point de la droite situé à cette hauteur. La droite passe par le point (1 ; 2), donc g(1) = 2 et l’antécédent de 2 est 1 (réponse B). Les réponses A et C sont fausses : g(2) = 4, donc 2 a pour image 4 et non 2, et 4 est l’image de 2, pas son antécédent.
- Question 3. Calcule l’image de 3 : f(3) = 3 × 3² − 7 = 3 × 9 − 7 = 27 − 7 = 20, donc la réponse B est exacte. La réponse A est fausse, car f(2) = 3 × 2² − 7 = 12 − 7 = 5 et non 29. La réponse C est fausse aussi : à cause du terme en x², f n’est pas de la forme ax + b, ce n’est donc pas une fonction affine.
- Question 4. Range les 13 valeurs dans l’ordre croissant : 3,41 ; 3,7 ; 4,01 ; 4,28 ; 4,3 ; 4,62 ; 4,91 ; 5,15 ; 5,25 ; 5,42 ; 5,82 ; 6,07 ; 6,11. L’effectif étant impair, la médiane de la série est la valeur du milieu, la 7e, avec 6 valeurs avant elle et 6 après : c’est 4,91 (réponse B). La réponse A donne le rang de la médiane au lieu de sa valeur, et la réponse C donne la 7e valeur de la liste non rangée.
- Question 5. Compare les côtés qui se correspondent : 6,3 ÷ 2,1 = 3 ; 7,2 ÷ 2,4 = 3 ; 7,5 ÷ 2,5 = 3, donc le triangle BUT est un agrandissement du triangle LAC de rapport 3. Dans un agrandissement de rapport k, les aires sont multipliées par k², donc ici par 3² = 9 (réponse C). La réponse A donne le rapport des longueurs et non celui des aires, et la réponse B double le rapport au lieu de l’élever au carré.
Exercice 3 : arithmétique et probabilités (20 points)
Une collectionneuse compte ses cartes Pokémon afin de les revendre. Elle possède 252 cartes de type « feu » et 156 cartes de type « terre ».
1. a. Parmi les trois propositions suivantes, laquelle correspond à la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 252 :
| Proposition 1 2² × 9 × 7 | Proposition 2 2 × 2 × 3 × 21 | Proposition 3 2² × 3² × 7 |
b. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 156.
2. Elle veut réaliser des paquets identiques, c’est à dire contenant chacun le même nombre de cartes « terre » et le même nombre de cartes « feu » en utilisant toutes ses cartes.
a. Peut-elle faire 36 paquets ?
b. Quel est le nombre maximum de paquets qu’elle peut réaliser ?
c. Combien de cartes de chaque type contient alors chaque paquet ?
3. Elle choisit une carte au hasard parmi toutes ses cartes. On suppose les cartes indiscernables au toucher. Calculer la probabilité que ce soit une carte de type « terre ».
Corrigé de l’exercice 3
- 1. a. Une décomposition en produit de facteurs premiers ne contient que des nombres premiers. Les trois produits valent bien 252, mais 9 n’est pas premier (9 = 3 × 3, proposition 1) et 21 non plus (21 = 3 × 7, proposition 2). La bonne réponse est donc la proposition 3 : 2² × 3² × 7 = 4 × 9 × 7 = 252, avec 2, 3 et 7 qui sont premiers.
- 1. b. Divise 156 par les nombres premiers en commençant par le plus petit : 156 = 2 × 78, puis 78 = 2 × 39, puis 39 = 3 × 13, et 13 est premier. Donc 156 = 2 × 2 × 3 × 13 = 2² × 3 × 13.
- 2. a. Pour faire 36 paquets identiques en utilisant toutes les cartes, il faut que 36 divise à la fois 252 et 156. Or 252 ÷ 36 = 7, mais 156 = 36 × 4 + 12 : la division de 156 par 36 ne tombe pas juste, il resterait 12 cartes « terre ». Donc non, elle ne peut pas faire 36 paquets.
- 2. b. Le nombre de paquets doit diviser à la fois 252 et 156 : le maximum cherché est donc leur plus grand diviseur commun (PGCD). Avec les décompositions 252 = 2² × 3² × 7 et 156 = 2² × 3 × 13, tu gardes les facteurs communs : 2² × 3 = 12. Elle peut réaliser au maximum 12 paquets. Autre méthode : écrire la liste des diviseurs de chaque nombre et repérer le plus grand qui figure dans les deux listes.
- 2. c. Chaque type de cartes est partagé en 12 paquets égaux : 252 ÷ 12 = 21 et 156 ÷ 12 = 13. Chaque paquet contient donc 21 cartes « feu » et 13 cartes « terre ».
- 3. La carte est choisie au hasard et les cartes sont indiscernables au toucher : chaque carte a la même chance d’être tirée, donc la probabilité est le nombre de cas favorables divisé par le nombre total de cas. Il y a 252 + 156 = 408 cartes en tout, dont 156 de type « terre ». La probabilité cherchée est donc 156 ÷ 408, soit, en simplifiant la fraction par 12, 13 sur 34 (environ 0,38).
Exercice 4 : calcul littéral et programme Scratch (20 points)
Dans cet exercice, x est un nombre strictement supérieur à 3. On s’intéresse aux deux figures géométriques dessinées ci-dessous : un rectangle dont les côtés ont pour longueurs x − 3 et x + 7 ; un carré de côté x.
1. Quatre propositions sont écrites ci-dessous. Recopier sur la copie celle qui correspond à l’aire du carré. On ne demande pas de justifier.
| 4x | 4 + x | x² | 2x |
2. Montrer que l’aire du rectangle est égale à : x² + 4x − 21.
3. On a écrit le script ci-dessous dans Scratch. On veut que ce programme renvoie l’aire du rectangle lorsque l’utilisateur a rentré une valeur de x (strictement supérieure à 3). Écrire sur la copie les contenus des trois cases vides des lignes 5, 6 et 7, en précisant les numéros de lignes qui correspondent à vos réponses.
1 quand la touche [espace] est pressée
2 demander « Combien vaut x ? » et attendre
3 mettre x à réponse
4 mettre R à x * x
5 ajouter ( [case vide] * x ) à R
6 ajouter [case vide] à R
7 dire regrouper « L’aire du rectangle est » et [case vide] pendant 2 secondes
4. On a pressé la touche espace puis saisi le nombre 8. Que renvoie le programme ?
5. Quel nombre x doit-on choisir pour que l’aire du rectangle soit égale à l’aire du carré ? Toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte.
Corrigé de l’exercice 4
- 1. L’aire d’un carré est égale à son côté multiplié par lui-même, soit ici x × x = x². Ne confonds pas avec 4x, qui est le périmètre du carré.
- 2. L’aire d’un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur, soit ici (x − 3) × (x + 7). Il reste à développer cette expression par double distributivité : (x − 3)(x + 7) = x × x + x × 7 − 3 × x − 3 × 7 = x² + 7x − 3x − 21. Comme 7x − 3x = 4x, l’aire du rectangle est bien égale à x² + 4x − 21.
- 3. Le script construit l’expression x² + 4x − 21 terme après terme dans la variable R, qui contient déjà x × x, soit x², après la ligne 4. La ligne 5 doit ajouter 4x, donc sa case vide contient 4. La ligne 6 doit ajouter le dernier terme, donc sa case contient −21 (ajouter −21 revient à soustraire 21). La ligne 7 annonce le résultat, donc sa case contient la variable R.
- 4. Suis le script avec x = 8 : la ligne 4 met R à 8 × 8 = 64, la ligne 5 ajoute 4 × 8 = 32, ce qui donne 96, et la ligne 6 ajoute −21, ce qui donne 96 − 21 = 75. Le programme dit donc pendant 2 secondes « L’aire du rectangle est » suivi de 75. Tu peux vérifier avec les dimensions du rectangle : (8 − 3) × (8 + 7) = 5 × 15 = 75.
- 5. Les deux aires sont égales quand x² + 4x − 21 = x². En retirant x² à chaque membre, il reste 4x − 21 = 0, soit 4x = 21, donc x = 21 ÷ 4 = 5,25. Ce nombre est bien strictement supérieur à 3 : il faut choisir x = 5,25. Vérification : le carré a pour aire 5,25² = 27,5625 et le rectangle 2,25 × 12,25 = 27,5625. Sans équation, des essais mettent sur la voie : pour x = 5 le rectangle a une aire de 24 contre 25 pour le carré, pour x = 6 il a une aire de 39 contre 36, donc la solution est entre 5 et 6.
Exercice 5 : volume d’un cylindre et pourcentage (20 points)
Dans une habitation, la consommation d’eau peut être anormalement élevée lorsqu’il y a une fuite d’eau. On considère la situation suivante : une salle de bain est équipée d’une vasque de forme cylindrique (le sujet en montre une photographie, posée sur un plan de toilette sous un robinet). Le robinet fuit à raison d’une goutte par seconde. En moyenne, 20 gouttes d’eau correspondent à un millilitre (1 ml).
Caractéristiques de la vasque : diamètre intérieur : 40 cm ; hauteur intérieure : 15 cm ; masse : 25 kg.
Rappels : volume du cylindre = π × rayon² × hauteur ; 1 dm³ = 1 litre.
1. En raison de la fuite, montrer qu’il tombe 86 400 gouttes dans la vasque en une journée complète.
2. Calculer, en litres, le volume d’eau qui tombe dans la vasque en une semaine en raison de la fuite.
3. Montrer que la vasque a un volume de 18,85 litres, arrondi au centilitre près.
4. L’évacuation de la vasque est fermée et le logement inoccupé pendant une semaine. L’eau va-t-elle déborder de la vasque ? Justifier la réponse.
5. À la fin du XIXe siècle, la consommation domestique d’eau par habitant en France était d’environ 17 litres par jour. Elle a fortement augmenté avec la généralisation de la distribution d’eau par le robinet dans les domiciles : elle est passée à 165 litres par jour et par habitant en 2004. En 2018, la consommation des Français baisse légèrement pour atteindre 148 litres d’eau par jour et par habitant. Calculer le pourcentage de diminution de la consommation quotidienne d’eau par habitant entre 2004 et 2018. On arrondira ce pourcentage à l’unité.
Corrigé de l’exercice 5
- 1. Le robinet fuit à raison d’une goutte par seconde : il tombe donc autant de gouttes qu’il y a de secondes dans une journée. Une journée dure 24 h, une heure 60 min et une minute 60 s, donc 24 × 60 × 60 = 1 440 × 60 = 86 400 s. Il tombe bien 86 400 gouttes dans la vasque en une journée complète.
- 2. Une semaine compte 7 jours, donc il tombe 7 × 86 400 = 604 800 gouttes. Comme 20 gouttes correspondent à 1 ml, cela représente 604 800 ÷ 20 = 30 240 ml. Or 1 litre = 1 000 ml, donc 30 240 ÷ 1 000 = 30,24. Il tombe 30,24 litres d’eau dans la vasque en une semaine.
- 3. Comme 1 dm³ = 1 litre, convertis les dimensions en décimètres : le rayon vaut 40 ÷ 2 = 20 cm = 2 dm et la hauteur 15 cm = 1,5 dm. La formule du volume du cylindre donne V = π × rayon² × hauteur = π × 2² × 1,5 = 6π dm³. À la calculatrice, 6π ≈ 18,8496 dm³, soit 18,85 litres en arrondissant au centilitre près (deux chiffres après la virgule). Autre chemin : calculer en cm³ (π × 20² × 15, environ 18 850 cm³), puis diviser par 1 000 pour passer en dm³.
- 4. Compare le volume d’eau tombé en une semaine (question 2) à la contenance de la vasque (question 3). Il tombe 30,24 litres, alors que la vasque ne peut contenir que 18,85 litres, et 30,24 est supérieur à 18,85. Comme l’évacuation est fermée, oui, l’eau va déborder.
- 5. Un pourcentage d’évolution se calcule en divisant la variation par la valeur de départ, puis en multipliant par 100. Entre 2004 et 2018, la consommation passe de 165 à 148 litres par jour et par habitant : elle baisse de 165 − 148 = 17 litres. Donc 17 ÷ 165 × 100 ≈ 10,3. La consommation a diminué d’environ 10 %. La donnée de la fin du XIXe siècle ne sert pas dans ce calcul.
Comment travailler ce sujet
Mets-toi dans les conditions écrites sur le sujet : 2 h 00 pour cinq exercices de 20 points chacun, soit 100 points. La calculatrice est autorisée (mode examen actif, ou modèle sans mémoire « type collège »), le dictionnaire est interdit. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf indication contraire, et une recherche inachevée est prise en compte : écris tes essais. Le temps écoulé, compare tes résultats aux réponses courtes, puis relis le corrigé détaillé des questions ratées et refais-les sans le regarder. Tu peux ensuite lire la présentation de l’épreuve de mathématiques du brevet et enchaîner avec le sujet corrigé du brevet de maths 2024.