Sujet et corrigé du brevet de mathématiques 2024

Voici le sujet de mathématiques du diplôme national du brevet, session 2024, série générale : cinq exercices notés sur 100 points, à traiter en 2 h 00. Tu trouves sur cette page l’énoncé complet, puis un corrigé détaillé exercice par exercice, avec la méthode et les calculs rédigés.

Le sujet de 2024 en bref

Le sujet de mathématiques de la série générale, session 2024 (sujet de France métropolitaine, Antilles et Guyane, code 24GENMATMEAG1), a été posé le 1^er juillet 2024. Il dure 2 h 00 et il est noté sur 100 points : cinq exercices de 20, 20, 22, 18 et 20 points. La calculatrice est autorisée, le dictionnaire est interdit. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf indication contraire, et une recherche qui n’aboutit pas est prise en compte dans la notation.

L’énoncé reproduit ci-dessous suit le document publié par le ministère de l’Éducation nationale sur Éduscol : sujet officiel de mathématiques du brevet 2024 (PDF). Chaque exercice est suivi de son corrigé : cache-le, cherche, puis compare.

Exercice 1 : la roulette et les probabilités (20 points)

Corrigé de l’exercice 1

• 1. La roue porte 37 cases, numérotées de 0 à 36, et la bille a la même probabilité de s’arrêter sur chaque numéro : c’est une situation d’équiprobabilité. Dans ce cas, le calcul d’une probabilité se fait en divisant le nombre d’issues favorables par le nombre total d’issues. Le numéro 7 figure sur une seule case : il y a 1 issue favorable sur 37 issues possibles. La probabilité que la bille s’arrête sur le numéro 7 est donc bien 1/37.
• 2. Tu repères sur la roue les cases noires dont le numéro est pair : 2, 4, 6, 8, 10, 20, 22, 24, 26 et 28. Cela fait 10 cases favorables sur 37 cases équiprobables. La probabilité cherchée est donc 10/37. Attention : les autres cases noires (11, 13, 15, 17, 29, 31, 33 et 35) portent un numéro impair, et les numéros pairs 0, 12, 14, 16, 18, 30, 32, 34 et 36 sont sur des cases blanches.
• 3. a. Les numéros inférieurs ou égaux à 6 sont 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6 : il y en a 7, car il ne faut pas oublier le 0. Chaque numéro figure une seule fois sur la roue, donc 7 cases sur 37 sont favorables. La probabilité que la bille s’arrête sur un numéro inférieur ou égal à 6 est 7/37.
• 3. b. Un numéro de la roue est soit inférieur ou égal à 6, soit supérieur ou égal à 7 : ces deux événements sont contraires, donc la somme de leurs probabilités vaut 1. Tu calcules : 1 − 7/37 = 37/37 − 7/37 = 30/37. La probabilité que la bille s’arrête sur un numéro supérieur ou égal à 7 est 30/37. Tu peux aussi compter directement les numéros de 7 à 36 : 36 − 7 + 1 = 30 numéros sur 37.
• 3. c. Il faut comparer 30/37 et 3/4. À la calculatrice : 30 ÷ 37 ≈ 0,81 et 3 ÷ 4 = 0,75, donc 30/37 est supérieur à 3/4. Sans calculatrice : 3/4 = 30/40, et de deux fractions qui ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur, donc 30/37 est supérieur à 30/40. Le joueur a raison : on a plus de 3 chances sur 4 d’obtenir un numéro supérieur ou égal à 7.

Exercice 2 : deux programmes de calcul et calcul littéral (20 points)

Corrigé de l’exercice 2

• 1. a. Tu appliques le programme A étape par étape en partant de 5. Carré du nombre choisi : 5² = 25. Multiplication par 2 : 25 × 2 = 50. Ajout du double du nombre de départ, soit 2 × 5 = 10 : 50 + 10 = 60. Soustraction de 4 : 60 − 4 = 56. Le programme A donne bien 56 quand on choisit 5.
• 1. b. Le script calcule deux résultats intermédiaires, puis les multiplie. Avec −9, la variable « Résultat 1 » vaut −9 + 2 = −7 et la variable « Résultat 2 » vaut −9 − 1 = −10. Le bloc 6 affiche leur produit : (−7) × (−10) = 70, car le produit de deux nombres négatifs est positif. Le programme B donne 70.
• 2. a. Dans le script, « Résultat 1 » vaut x + 2 et « Résultat 2 » vaut x − 1, puis le bloc 6 multiplie ces deux résultats. Le programme B donne donc (x + 2) × (x − 1) : c’est l’expression E2. E1 soustrait 1 au lieu de multiplier, et E3 n’a pas de parenthèses : la multiplication étant prioritaire, elle calculerait seulement 2 × x, soit x + 2x − 1.
• 2. b. Tu traduis chaque étape du programme A avec le nombre x. Le carré du nombre choisi est x², et multiplié par 2 il devient 2x². Tu ajoutes le double du nombre de départ, soit 2x, ce qui donne 2x² + 2x. Tu soustrais enfin 4 : le résultat du programme A est 2x² + 2x − 4. Vérification avec x = 5 : 2 × 25 + 10 − 4 = 56, comme à la première question.
• 3. Pour un nombre x quelconque, le programme B donne (x + 2)(x − 1) et le programme A donne 2x² + 2x − 4. Tu commences par développer l’expression du programme B avec la double distributivité : (x + 2)(x − 1) = x² − x + 2x − 2 = x² + x − 2. Son double vaut 2 × (x² + x − 2) = 2x² + 2x − 4. C’est exactement l’expression du programme A, et ce calcul est valable pour n’importe quelle valeur de x. Le résultat du programme A est donc toujours le double du résultat du programme B. Autre méthode : factoriser 2x² + 2x − 4 = 2(x² + x − 2), puis développer (x + 2)(x − 1) pour retrouver x² + x − 2.

Exercice 3 : cercle, Pythagore, Thalès et aires (22 points)

Corrigé de l’exercice 3

• 1. [AB] est un diamètre du cercle (C), dont le rayon est 4,5 cm. Or le diamètre d’un cercle mesure le double de son rayon. Donc AB = 2 × 4,5 = 9 cm. Autre rédaction possible : O est le milieu de [AB] et OA = OB = 4,5 cm, donc AB = OA + OB = 9 cm.
• 2. Dans le triangle ABD, le plus long côté est [AB], avec AB = 9 cm. D’une part, AB² = 9² = 81. D’autre part, BD² + DA² = 5,4² + 7,2² = 29,16 + 51,84 = 81. Tu constates que AB² = BD² + DA². D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en D.
• 3. Les points A, E, B sont alignés, les points A, F, D sont alignés et les droites (EF) et (BD) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès, AE/AB = AF/AD = EF/BD. Tu remplaces par les longueurs connues : 2,7/9 = AF/7,2. Par le produit en croix, AF = 2,7 × 7,2 ÷ 9 = 19,44 ÷ 9 = 2,16. Donc AF = 2,16 cm. Autre calcul possible : AE/AB = 2,7 ÷ 9 = 0,3, donc AF = 0,3 × 7,2 = 2,16 cm.
• 4. a. Le triangle ABD est rectangle en D (question 2), donc les côtés [BD] et [DA] sont perpendiculaires : l’un sert de base, l’autre de hauteur. L’aire d’un triangle se calcule par base × hauteur ÷ 2. Aire de ABD = BD × DA ÷ 2 = 5,4 × 7,2 ÷ 2 = 38,88 ÷ 2 = 19,44. L’aire du triangle ABD est bien égale à 19,44 cm².
• 4. b. Tu appliques la formule rappelée dans l’énoncé, π × R², avec le rayon R = 4,5 cm (et non le diamètre). Aire du disque = π × 4,5² = 20,25 × π ≈ 63,617. Le chiffre des millièmes est 7, donc tu arrondis au centième supérieur. L’aire du disque est environ 63,62 cm².
• 5. Calculer un pourcentage revient à diviser la partie par le tout, puis à multiplier par 100. Ici, la partie est l’aire du triangle et le tout est l’aire du disque : 19,44 ÷ 63,62 × 100 ≈ 30,6. L’aire du triangle ABD représente environ 30,6 % de l’aire du disque, soit un peu moins du tiers. Avec la valeur exacte 20,25 × π à la place de 63,62, tu obtiens le même arrondi.

Exercice 4 : un QCM en six questions (18 points)

Corrigé de l’exercice 4

• Question 1. Pour trouver l’image de −4, tu remplaces x par −4 dans l’expression : f(−4) = 3 × (−4) − 2 = −12 − 2 = −14, c’est la réponse A. La réponse B (−10) vient d’une erreur de signe, −12 + 2, et la réponse C (−3) revient à ajouter 3 au lieu de multiplier par 3.
• Question 2. (−5)³ est le produit de trois facteurs égaux à −5 : (−5) × (−5) × (−5) = 25 × (−5) = −125, c’est la réponse A. La réponse B (−15) confond la puissance avec le produit −5 × 3, et la réponse C (125) oublie qu’un produit de trois facteurs négatifs est négatif.
• Question 3. Pour aller de C à A, tu te déplaces d’une colonne vers la gauche et d’une ligne vers le bas : une translation fait subir ce même déplacement à tous les points. En partant de J (ligne du milieu, troisième colonne), tu arrives sur la ligne du bas, deuxième colonne : c’est le point E, réponse B. Le point H s’obtient avec le déplacement inverse (celui qui va de A vers C), et le point D en oubliant de descendre d’une ligne.
• Question 4. L’antécédent de 3 est le nombre dont l’image vaut 3 : tu pars de 3 sur l’axe des ordonnées et tu lis l’abscisse du point de la droite situé à cette hauteur. La droite passe par le point de coordonnées (0 ; 3), donc f(0) = 3 et l’antécédent de 3 est 0, réponse C. Les réponses A et B viennent d’une confusion entre image et antécédent : le point (3 ; −3) de la droite montre que l’image de 3 est −3, ce qui n’est pas la question posée.
• Question 5. Pour trouver la médiane d’une série, tu ranges d’abord les valeurs dans l’ordre croissant : 1,46 ; 1,6 ; 1,65 ; 1,67 ; 1,7 ; 1,72 ; 1,75. Il y a 7 valeurs, la médiane est donc la quatrième, celle qui laisse 3 valeurs avant elle et 3 valeurs après : 1,67, réponse B. La réponse A (1,72) est la quatrième valeur de la liste non rangée, et la réponse C (1,65) n’est que la troisième valeur de la liste rangée.
• Question 6. Dans le triangle ABC rectangle en A, l’hypoténuse est [BC] et le côté adjacent à l’angle α (de sommet B) est [AB] ; la définition du cosinus d’un angle aigu donne cos α = côté adjacent ÷ hypoténuse = AB ÷ BC = 4 ÷ 5 = 0,8, réponse A. La réponse B (0,75 = 3 ÷ 4) est la tangente de α, et la réponse C (0,6 = 3 ÷ 5) est son sinus.

Exercice 5 : sachets identiques et volume d’une piscine (20 points)

Corrigé de l’exercice 5

• Partie A, 1. Pour que tous les sachets soient identiques et que tout soit utilisé, le nombre de sachets doit diviser à la fois 330 et 132. Or 330 ÷ 15 = 22, mais 132 ÷ 15 = 8,8, qui n’est pas un nombre entier. Avec 15 sachets, on pourrait mettre 22 autocollants par sachet, mais les drapeaux ne se partagent pas : 132 = 15 × 8 + 12, il en resterait 12. Il n’est donc pas possible de faire 15 sachets.
• Partie A, 2. a. Pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, tu le divises par les nombres premiers successifs (2, 3, 5, 7, 11) tant que c’est possible. Pour 330 : 330 = 2 × 165 = 2 × 3 × 55 = 2 × 3 × 5 × 11. Pour 132 : 132 = 2 × 66 = 2 × 2 × 33 = 2 × 2 × 3 × 11, soit 2² × 3 × 11. Tu vérifies que chaque facteur (2, 3, 5 et 11) est bien un nombre premier.
• Partie A, 2. b. Le nombre de sachets doit diviser 330 et 132, et on veut le plus grand possible : c’est le plus grand diviseur commun de 330 et 132. Tu le lis dans les décompositions en multipliant les facteurs premiers communs : 330 = 2 × 3 × 5 × 11 et 132 = 2 × 2 × 3 × 11 ont en commun 2, 3 et 11. Donc 2 × 3 × 11 = 66. La présidente pourra réaliser au maximum 66 sachets.
• Partie A, 2. c. Tu partages chaque quantité entre les 66 sachets. Autocollants : 330 ÷ 66 = 5. Drapeaux : 132 ÷ 66 = 2. Chaque sachet contiendra 5 autocollants et 2 drapeaux. Vérification : 66 × 5 = 330 et 66 × 2 = 132, tout est utilisé.
• Partie B. Le volume d’un pavé droit se calcule par longueur × largeur × hauteur (ici la profondeur) : 25 × 15 × 2 = 750 m³. La piscine est remplie aux 9/10 de ce volume : 9/10 × 750 = 675 m³ d’eau. Chaque m³ d’eau coûte 4,14 €, donc le coût est 675 × 4,14 = 2 794,5. Le remplissage de la piscine coûte 2 794,50 €.

Comment travailler ce sujet

Mets-toi dans les conditions écrites sur le sujet : 2 h 00 pour cinq exercices notés sur 100 points, calculatrice autorisée (avec mode examen actif, ou sans mémoire « type collège »), dictionnaire interdit. Rédige toutes tes réponses, car le sujet précise qu’elles doivent être justifiées, sauf indication contraire comme dans le QCM de l’exercice 4, et laisse une trace de tes recherches même inachevées. Ensuite, compare ta copie au corrigé question par question : vérifie le résultat, puis la propriété citée et les étapes du calcul. Liste les notions ratées, puis revois chacune dans ton cours ou dans la fiche liée au corrigé quand elle existe. Refais ensuite sans aide les questions ratées, et entraîne-toi sur le sujet corrigé du brevet de maths 2022, construit lui aussi en cinq exercices.