Décomposer un nombre en facteurs premiers en 3ᵉ : cours, méthode et exercices pour le brevet

Reconnaître les briques premières

Avant de décomposer, tu dois savoir ce qu’est un nombre premier. C’est un entier naturel supérieur à 1 qui admet exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Ainsi, 2, 3, 5, 7, 11 et 13 sont premiers. Le nombre 2 est le seul nombre premier pair. Dès qu’un nombre pair est supérieur à 2, il est divisible par 2 : il n’est donc pas premier. Le nombre 1 n’est pas premier, car il n’a qu’un seul diviseur positif. Le nombre 0 n’est pas premier non plus : il possède une infinité de diviseurs. Ces deux cas particuliers ne doivent jamais apparaître dans une décomposition en facteurs premiers.

Un nombre qui n’est pas premier, et qui est supérieur à 1, est appelé nombre composé. Il peut s’écrire comme un produit de deux entiers strictement supérieurs à 1. Par exemple, 21 = 3 × 7 : 21 est composé. De même, 36 = 4 × 9, donc 36 est composé. Attention : écrire 36 = 4 × 9 ne donne pas encore une décomposition en facteurs premiers, car 4 et 9 ne sont pas premiers. Tu dois poursuivre : 4 = 2 × 2 et 9 = 3 × 3. La forme finale est 36 = 2² × 3².

Pour tester rapidement un nombre, utilise des critères de divisibilité, mais seulement quand ils s’appliquent. Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair. Il est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. Il est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. Ces critères permettent de trouver un premier facteur ; ils ne remplacent pas la décomposition complète. Coach Vince te le rappelle : ne décide jamais qu’un nombre est premier parce qu’il « a l’air » de l’être. Vérifie méthodiquement ses diviseurs possibles.

Réflexes utiles pour commencer

La méthode fiable, étape par étape

Une décomposition en facteurs premiers est une écriture sous la forme d’un produit dans lequel tous les facteurs sont premiers. La méthode la plus sûre consiste à diviser successivement par les plus petits nombres premiers possibles. Commence par 2. Si le nombre n’est pas divisible par 2, essaie 3, puis 5, puis 7, et continue si besoin avec les nombres premiers suivants. Chaque fois qu’une division est exacte, écris le diviseur premier et recommence avec le quotient obtenu.

Prends 180. Il est pair, donc 180 = 2 × 90. Le quotient 90 est encore pair : 90 = 2 × 45. Le nombre 45 n’est pas divisible par 2, mais la somme de ses chiffres vaut 9 : il est divisible par 3. On écrit 45 = 3 × 15, puis 15 = 3 × 5. Le dernier quotient, 5, est premier. En regroupant les facteurs, 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2² × 3² × 5. Cette dernière écriture est la décomposition demandée.

Tu peux présenter la recherche avec des divisions successives. Pour 180, une colonne de divisions peut donner 180 ÷ 2 = 90, puis 90 ÷ 2 = 45, puis 45 ÷ 3 = 15, puis 15 ÷ 3 = 5, puis 5 ÷ 5 = 1. Les nombres placés à droite, 2, 2, 3, 3 et 5, sont les facteurs premiers. Arrête-toi lorsque le quotient vaut 1. Ne t’arrête pas lorsque tu obtiens seulement un nombre plus petit : vérifie qu’il est premier.

Une autre présentation consiste à construire un arbre de facteurs. Par exemple, 84 peut devenir 84 = 2 × 42, puis 42 = 2 × 21 et 21 = 3 × 7. Les feuilles de l’arbre sont 2, 2, 3 et 7. Tu conclus donc 84 = 2² × 3 × 7. Cette méthode est correcte si chaque branche est poursuivie jusqu’à des nombres premiers. Elle devient moins lisible pour les grands nombres ; les divisions successives sont alors souvent plus efficaces.

Règle d’écriture à respecter

Contrôle qualité avant de conclure

• Vérifie que chaque facteur final est premier. Dans 2 × 6 × 7, le facteur 6 impose de continuer.
• Range les facteurs dans l’ordre croissant : 2, puis 3, puis 5, puis 7. Cette convention rend ta réponse lisible.
• Regroupe les facteurs identiques avec des puissances : 3 × 3 × 3 × 5 s’écrit 3³ × 5.
• Recompose mentalement ou par calcul pour vérifier le produit. Pour 2² × 3 × 7, calcule 4 × 3 × 7 = 84.
• N’ajoute jamais le facteur 1 : multiplier par 1 ne change pas le nombre et 1 n’est pas premier.

À quoi sert cette décomposition ?

La décomposition en facteurs premiers sert d’abord à comparer la structure de plusieurs nombres. Elle permet notamment de calculer un PGCD, le plus grand diviseur commun, et un PPCM, le plus petit multiple commun. Ces méthodes ne sont valables que lorsque les nombres ont été entièrement décomposés en facteurs premiers. Pour le PGCD, tu gardes seulement les facteurs présents dans toutes les décompositions, avec le plus petit exposant commun. Pour le PPCM, tu gardes tous les facteurs présents, avec le plus grand exposant rencontré.

Par exemple, 84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7. Les facteurs communs sont 2, 3 et 7. Le plus petit exposant de 2 est 1, celui de 3 est 1 et celui de 7 est 1. Donc PGCD(84 ; 126) = 2 × 3 × 7 = 42. Pour le PPCM, il faut prendre 2², 3² et 7, soit PPCM(84 ; 126) = 2² × 3² × 7 = 252. Le PGCD doit diviser chacun des deux nombres ; vérifie : 84 ÷ 42 = 2 et 126 ÷ 42 = 3. Le PPCM doit être un multiple des deux nombres ; 252 ÷ 84 = 3 et 252 ÷ 126 = 2.

Cette écriture aide aussi à simplifier certaines racines carrées. Chercher les facteurs par paires est utile, car √(a² × b) = a × √b uniquement si a et b sont des nombres positifs ou nuls. Avec 72 = 2³ × 3² = 2² × 3² × 2, on obtient √72 = √(2² × 3² × 2) = 2 × 3 × √2 = 6√2. Tu dois identifier des carrés parfaits dans la décomposition, pas inventer une séparation de racine.

Enfin, une écriture en facteurs premiers donne un critère exact pour reconnaître un carré parfait. Un entier positif est un carré parfait si, dans sa décomposition en facteurs premiers, tous les exposants sont pairs. Par exemple, 900 = 2² × 3² × 5² : 900 est un carré parfait, et √900 = 2 × 3 × 5 = 30. En revanche, 180 = 2² × 3² × 5 : l’exposant de 5 vaut 1, donc 180 n’est pas un carré parfait. Voilà le plan de jeu : décomposer proprement, interpréter les exposants, puis choisir l’outil adapté à la question.