Révisions du brevet de mathématiques en 3ᵉ : cours, exercices et méthode

Les priorités : ton ordre de passage

Un calcul numérique se traite dans un ordre précis. Tu commences par les parenthèses les plus intérieures, puis les puissances, ensuite les multiplications et les divisions de gauche à droite, et enfin les additions et les soustractions de gauche à droite. Une multiplication n’est pas prioritaire sur une division : elles ont le même rang. De même, une addition n’est pas prioritaire sur une soustraction. Dans A = 18 − 4 × 3 + 12 ÷ 2, tu calcules d’abord 4 × 3 = 12 et 12 ÷ 2 = 6. Tu obtiens alors A = 18 − 12 + 6 = 12. Écrire les lignes intermédiaires évite de mélanger plusieurs opérations dans une même ligne.

Avec les nombres relatifs, un signe placé devant une parenthèse demande une attention complète. Si une parenthèse est précédée du signe +, tu peux la supprimer sans changer les signes : 7 + (−3) = 7 − 3. Si elle est précédée du signe −, tu changes tous les signes à l’intérieur : 7 − (−3) = 7 + 3. Cette transformation est valable parce que soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Ainsi, 10 − (4 − 9) = 10 − 4 + 9 = 15. Ne confonds jamais le signe d’un nombre négatif avec l’opération de soustraction.

Pour additionner des relatifs de signes différents, compare leurs distances à zéro. Tu soustrais la plus petite distance de la plus grande et tu gardes le signe du nombre le plus éloigné de zéro. Par exemple, −13 + 8 = −5. Pour multiplier ou diviser des relatifs non nuls, applique la règle des signes : même signe, résultat positif ; signes différents, résultat négatif. Ainsi, (−6) × (−4) = 24, tandis que 35 ÷ (−5) = −7. Une division par zéro est impossible : une expression comme 9 ÷ 0 n’a pas de valeur. Ces règles de signes font partie des automatismes de calcul sans calculatrice que tu dois maîtriser pour le brevet.

Puissances, écritures scientifiques et racines carrées

• Une puissance est un produit de facteurs identiques. Dans 5³, 5 est la base et 3 est l’exposant : 5³ = 5 × 5 × 5 = 125. Attention : −5² = −25, car seul 5 est élevé au carré. En revanche, (−5)² = 25, car le nombre négatif entier est entre parenthèses.
• Les règles sur les puissances ne s’appliquent que lorsque la base est la même. Pour tout nombre a non nul et tous entiers p et q, aᵖ × aᑫ = aᵖ⁺ᑫ, aᵖ ÷ aᑫ = aᵖ⁻ᑫ et (aᵖ)ᑫ = aᵖˣᑫ. Par exemple, 2⁴ × 2³ = 2⁷ = 128. En revanche, 2³ + 2² n’est pas égal à 2⁵ : il faut calculer 8 + 4 = 12.
• Les puissances de 10 servent à écrire des nombres très grands ou très petits. Une écriture scientifique a la forme a × 10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif. Par exemple, 4 500 000 = 4,5 × 10⁶ et 0,000 72 = 7,2 × 10⁻⁴. Vérifie le déplacement de la virgule : vers la gauche, l’exposant est positif ; vers la droite, il est négatif.
• La racine carrée d’un nombre positif est le nombre positif dont le carré donne ce nombre. √49 = 7 car 7² = 49. Pour tout nombre positif a, √a est donc positif ou nul. La racine √36 vaut 6, pas −6 : pourtant, les deux solutions de x² = 36 sont x = −6 et x = 6. Tu dois distinguer une racine carrée d’une équation.
• La simplification d’une racine consiste à repérer un facteur carré parfait. Comme 72 = 36 × 2, √72 = √(36 × 2) = 6√2. Cette propriété s’utilise seulement avec des nombres positifs ou nuls : pour a ≥ 0 et b ≥ 0, √(a × b) = √a × √b. Elle ne permet pas d’écrire √(a + b) = √a + √b : par exemple, √(9 + 16) = 5 alors que √9 + √16 = 7.

Calcul littéral : développer, réduire, factoriser

Les identités remarquables ne se devinent pas

Arithmétique : diviseurs, nombres premiers et PGCD

L’arithmétique travaille sur les entiers. Un entier a est un diviseur d’un entier b lorsqu’il existe un entier k tel que b = a × k. Par exemple, 6 est un diviseur de 42 car 42 = 6 × 7. Dire que 42 est un multiple de 6 revient au même. Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11. Le nombre 1 n’est pas premier, car il n’a qu’un seul diviseur positif. Le nombre 2 est le seul nombre premier pair.

Pour décomposer un entier en produit de facteurs premiers, tu le divises successivement par des nombres premiers. Par exemple, 84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2² × 3 × 7. Cette écriture est utile pour déterminer le PGCD, c’est-à-dire le plus grand commun diviseur de deux entiers non nuls. Le PGCD de 84 et 60 se lit à partir de leurs décompositions : 84 = 2² × 3 × 7 et 60 = 2² × 3 × 5. Les facteurs premiers communs, avec les plus petits exposants, sont 2² et 3. Donc PGCD(84 ; 60) = 2² × 3 = 12.

Tu peux aussi utiliser l’algorithme d’Euclide : PGCD(a ; b) = PGCD(b ; reste de la division euclidienne de a par b), tant que le reste n’est pas nul. Pour 84 et 60, 84 = 60 × 1 + 24, puis 60 = 24 × 2 + 12, puis 24 = 12 × 2 + 0. Le dernier reste non nul est 12 : c’est le PGCD. Dans un problème de partage en parts identiques, le PGCD donne souvent le nombre maximal de groupes ou la plus grande taille de lots possible. Lis toutefois la question : elle peut demander le nombre de groupes, le contenu d’un groupe, ou les deux. Termine toujours par une phrase qui relie ton résultat à la situation.