Révisions de maths en 3ᵉ : les automatismes sans calculatrice, des signes aux puissances

Les nombres relatifs : conduire les signes sans hésiter

Sans calculatrice, un calcul juste repose sur des automatismes, et le premier d'entre eux concerne les signes des nombres relatifs. Un nombre relatif peut être positif, négatif ou nul. Son signe est placé devant son écriture : −7 est négatif, +7 est positif et 0 n'est ni positif ni négatif. Sur une droite graduée, le plus grand nombre est celui qui se situe le plus à droite. Ainsi, −3 > −8, car −3 est plus proche de 0. Pour additionner deux nombres de même signe, additionne leurs distances à 0 puis conserve le signe commun : (−4) + (−9) = −13. Pour deux nombres de signes contraires, calcule la différence entre les distances à 0 et garde le signe du nombre dont la distance à 0 est la plus grande : (−12) + 5 = −7. Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé : 6 − (−4) = 6 + 4 = 10. Cette transformation est indispensable avant de calculer une suite d'additions et de soustractions. Dans un produit ou un quotient de nombres relatifs non nuls, le signe dépend du nombre de facteurs négatifs : un nombre pair de signes négatifs donne un résultat positif, un nombre impair donne un résultat négatif. Par exemple, (−3) × 5 × (−2) contient deux facteurs négatifs : il est donc positif et vaut 30. Attention : cette règle concerne les produits et les quotients, pas les additions. Respecte aussi les priorités opératoires : parenthèses, puissances, multiplications et divisions de gauche à droite, puis additions et soustractions de gauche à droite. Dans 8 − 3 × 4, calcule d'abord 3 × 4 : le résultat est −4. Coach Vince te demande un réflexe : entoure mentalement les parenthèses et les multiplications avant de commencer.

Puissances et racines carrées : les règles à condition

Ne mélange jamais les règles de puissances

Calcul littéral : un plan de jeu propre

• Réduis seulement les termes semblables. Des termes sont semblables lorsqu'ils ont exactement la même partie littérale. Dans 4x − 7 + 3x + 2, tu peux regrouper 4x et 3x, puis −7 et 2 : 7x − 5. Tu ne peux pas réduire 4x + 3x², car x et x² sont différents.
• Développe avec la distributivité. Pour tous nombres a, b et c, a(b + c) = ab + ac. Ainsi 5(2x − 3) = 10x − 15. Si le facteur placé devant la parenthèse est négatif, distribue aussi ce signe : −3(x − 4) = −3x + 12.
• Supprime une parenthèse précédée de + ou de −. Devant +, les signes à l'intérieur ne changent pas. Devant −, chaque signe à l'intérieur change : 7 − (2x − 5) = 7 − 2x + 5 = 12 − 2x.
• Factorise en recherchant un facteur commun. La distributivité permet le chemin inverse : 6x + 18 = 6(x + 3). Vérifie en développant ton résultat. Une factorisation correcte doit redonner l'expression de départ.
• Remplace une lettre avec des parenthèses. Pour calculer A = 3x² − 2x + 1 lorsque x = −4, écris A = 3 × (−4)² − 2 × (−4) + 1. La puissance porte sur −4 tout entier : (−4)² = 16. Tu obtiens A = 48 + 8 + 1 = 57.

Arithmétique : décomposer pour partager et simplifier

Un nombre premier est un entier positif qui possède exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même. Le nombre 2 est le seul nombre premier pair. Le nombre 1 n'est pas premier, car il ne possède qu'un seul diviseur positif. Pour savoir si un entier est premier, teste les divisions par les nombres premiers pertinents : il suffit d'aller jusqu'à la racine carrée du nombre. Par exemple, pour 97, √97 est inférieur à 10 ; teste donc 2, 3, 5 et 7. Aucune division n'est exacte, donc 97 est premier. La décomposition en facteurs premiers écrit un entier comme un produit de nombres premiers. Pour 180, tu peux écrire 180 = 2 × 90 = 2² × 45 = 2² × 3² × 5. Range les facteurs pour lire facilement la décomposition. Le PGCD de deux entiers positifs est leur plus grand diviseur commun. Avec les décompositions, conserve seulement les facteurs premiers communs, chacun avec le plus petit exposant. Pour 180 = 2² × 3² × 5 et 84 = 2² × 3 × 7, le PGCD est 2² × 3 = 12. Le PGCD sert notamment à former le plus grand nombre possible de groupes identiques, sans reste. Si 180 objets et 84 objets doivent être répartis en groupes identiques sans rien laisser, il peut y avoir au maximum 12 groupes. Chaque groupe contient alors 15 objets du premier type et 7 du second. Dans une fraction, diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul ne change pas sa valeur. Le PGCD donne une simplification complète : 84 ÷ 180 = 7 ÷ 15 après division des deux termes par 12. Écris les égalités de division : elles rendent ta démarche vérifiable. Pour additionner ou soustraire des fractions, commence par les écrire avec le même dénominateur : 3 ÷ 4 + 1 ÷ 6 = 9 ÷ 12 + 2 ÷ 12 = 11 ÷ 12. Pour multiplier des fractions, multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en simplifiant si possible avant le produit. Une fraction représente souvent une part, une proportion ou une quantité dans un problème : indique donc ce qu'elle représente avant de conclure.

Écriture scientifique : lire les très grands et les très petits nombres

L'écriture scientifique d'un nombre est de la forme a × 10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif. Elle permet d'écrire clairement des nombres très grands ou très petits. Par exemple, 3 200 000 = 3,2 × 10⁶ : la virgule a été déplacée de six rangs vers la gauche. À l'inverse, 0,000 45 = 4,5 × 10⁻⁴ : la virgule a été déplacée de quatre rangs vers la droite pour obtenir 4,5. Avec les puissances de 10, utilise les règles sur les puissances seulement lorsqu'il y a une multiplication ou une division : 10⁴ × 10³ = 10⁷ et 10⁶ ÷ 10² = 10⁴. Dans un calcul contextualisé, garde les unités. Si une cellule mesure 6 × 10⁻⁶ m et que 2 000 cellules sont alignées, leur longueur totale est 2 × 10³ × 6 × 10⁻⁶ m = 12 × 10⁻³ m = 1,2 × 10⁻² m, soit 0,012 m. Coach Vince insiste : une puissance de 10 donne l'ordre de grandeur, mais l'unité donne le sens de la réponse.

La méthode des automatismes sans calculatrice