Calculer efficacement en 3ᵉ : nombres, puissances et calcul littéral pour le brevet

Construis un calcul fiable

Les automatismes regroupent les calculs que tu dois savoir mener rapidement et avec rigueur. Dans un calcul numérique, respecte toujours cet ordre : parenthèses, puissances et racines carrées, multiplications et divisions de gauche à droite, puis additions et soustractions de gauche à droite. Une barre de fraction joue le rôle de parenthèses : calcule entièrement le numérateur et le dénominateur avant de diviser. Par exemple, dans 18 − 3 × 4² ÷ 6, tu calcules d'abord 4² = 16, puis 3 × 16 ÷ 6 = 8, donc 18 − 8 = 10. Ne lis jamais 18 − 3 comme une première étape : la multiplication est prioritaire. Pour additionner ou soustraire des nombres relatifs, observe les signes. Deux nombres de même signe s'additionnent : (−7) + (−5) = −12. Deux nombres de signes contraires se ramènent à une différence : 9 + (−14) = −5, car 14 est la plus grande distance à zéro et son signe est négatif. Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé : 6 − (−8) = 6 + 8 = 14. En revanche, pour multiplier ou diviser des nombres relatifs, calcule les distances à zéro puis applique la règle des signes : même signe, résultat positif ; signes contraires, résultat négatif. Ainsi, (−15) ÷ 3 = −5 et (−4) × (−6) = 24. Garde les parenthèses autour d'un nombre négatif quand elles évitent une ambiguïté. Elles sont indispensables dans une puissance : (−3)² = 9, tandis que −3² = −9, car seule la puissance est calculée avant le signe moins placé devant.

Puissances et racines : les règles à utiliser au bon moment

Développer, réduire et factoriser sans mélanger les règles

• Réduis seulement des termes semblables. Deux termes sont semblables s'ils ont exactement la même partie littérale. Dans 4x − 7 + 3x + 2, tu regroupes 4x et 3x, puis −7 et 2 : 7x − 5. En revanche, 3x et 3x² ne sont pas semblables ; 3x + 3x² ne se réduit pas.
• Développe avec la distributivité. Pour tous nombres a, b et c, a(b + c) = ab + ac et a(b − c) = ab − ac. Ainsi, −3(2x − 5) = −6x + 15. Le signe du facteur est distribué à chacun des termes. Pour un produit de deux parenthèses, chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : (x + 4)(x − 2) = x² − 2x + 4x − 8 = x² + 2x − 8.
• Factorise en repérant un facteur commun. La distributivité permet le chemin inverse : 6x + 18 = 6(x + 3). Vérifie que le facteur choisi divise chaque terme. Dans 15x − 10, le facteur commun 5 donne 5(3x − 2). Une factorisation est utile pour simplifier une expression ou résoudre un problème, mais elle doit rester équivalente à l'expression de départ.
• Utilise les identités remarquables seulement si la forme correspond exactement. (a + b)² = a² + 2ab + b² et (a − b)² = a² − 2ab + b². Par exemple, (x − 5)² = x² − 10x + 25. Ne transforme pas x² + 25 en (x + 5)² : il manque le terme 10x.
• Remplace une lettre avec discipline. Si A = 3x² − 2x et x = −2, écris A = 3 × (−2)² − 2 × (−2). Tu calcules (−2)² = 4, donc A = 12 + 4 = 16. Les parenthèses protègent le signe du nombre remplacé.

Racine carrée et carré parfait : garde le sens exact

Arithmétique : premiers, diviseurs et PGCD

Un nombre entier positif est premier s'il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même. Le nombre 2 est le seul nombre premier pair. Le nombre 1 n'est pas premier, car il ne possède qu'un seul diviseur positif. Pour tester si un nombre est premier, cherche si un nombre premier plus petit peut le diviser sans reste. Par exemple, 51 est divisible par 3 car 5 + 1 = 6, multiple de 3 ; il n'est donc pas premier. La décomposition en produit de facteurs premiers écrit un entier comme une multiplication de nombres premiers. Pour 84, tu peux obtenir 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7. Cette écriture est unique à l'ordre des facteurs près. Elle permet notamment de déterminer un PGCD, le plus grand commun diviseur de deux entiers positifs. Le PGCD est le plus grand entier qui divise les deux nombres sans reste. Pour calculer PGCD(84 ; 126), décompose : 84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7. Tu gardes les facteurs communs avec leur plus petit exposant : 2 × 3 × 7 = 42. Donc PGCD(84 ; 126) = 42. Dans un contexte de partage ou de découpage en lots identiques, le PGCD donne le plus grand nombre d'éléments par lot possible, à condition que chaque lot utilise tous les objets sans reste. Il sert aussi à simplifier une fraction : comme PGCD(84 ; 126) = 42, 84 ÷ 126 = 2 ÷ 3. Écris les deux divisions, pas seulement le résultat : tu montres ainsi pourquoi la fraction est irréductible après simplification. Dernier contrôle : vérifie que ton PGCD divise réellement les deux nombres. Un calcul arithmétique solide repose sur cette vérification simple.