La racine carrée en 3ᵉ : cours, exercices et méthode pour le brevet

Comprendre ce que signifie √a

La racine carrée est l’opération qui permet de retrouver un nombre à partir de son carré. Pour tout nombre a positif ou nul, √a est l’unique nombre positif ou nul dont le carré est égal à a. Ainsi, √25 = 5 car 5² = 25. On n’écrit pas √25 = −5 : pourtant, (−5)² vaut aussi 25, mais la racine carrée elle-même désigne toujours le résultat positif ou nul. Cette convention est essentielle. Elle évite de confondre √25 et les solutions de l’équation x² = 25. Dans cette équation, deux nombres conviennent : 5 et −5. En revanche, √25 vaut uniquement 5.

Dans les nombres réels, √a existe seulement si a ≥ 0. Tu peux donc calculer √0 = 0, √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √36 = 6, √49 = 7, √64 = 8, √81 = 9, √100 = 10, √121 = 11 et √144 = 12. Ces carrés parfaits doivent devenir des automatismes : sans eux, tu perds du temps dans des calculs qui devraient être immédiats. À l’inverse, √2, √3, √5 ou √10 ne sont pas des nombres entiers. Tu peux les conserver sous cette forme exacte ou, si une consigne le demande, utiliser une valeur approchée avec le signe ≈.

Attention au vocabulaire. Dans √72, le nombre 72 est appelé le nombre sous la racine. L’expression √72 est une écriture exacte. Écrire √72 ≈ 8,49 donne une approximation, car 8,49² n’est pas exactement égal à 72. Ne remplace jamais une valeur exacte par une approximation si la question demande de simplifier, de calculer exactement ou de donner une forme exacte. Ton premier réflexe doit être : « Est-ce un carré parfait ? »

Réflexes de calcul à connaître

Simplifier sans faire de faux raccourci

• Pour simplifier √a, cherche un facteur qui soit un carré parfait. Par exemple, 72 = 36 × 2. Comme 36 et 2 sont positifs, √72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2. La forme 6√2 est plus simple que √72 car aucun facteur carré parfait supérieur à 1 ne reste sous la racine.
• La règle √(a × b) = √a × √b est valable seulement lorsque a ≥ 0 et b ≥ 0. Elle sert à sortir un carré parfait de la racine. Pour √180, écris 180 = 36 × 5, puis √180 = 6√5. Tu peux aussi utiliser 180 = 9 × 20, mais tu obtiens 3√20 : il faut alors continuer, car √20 = 2√5.
• Pour une fraction positive, √(a ÷ b) = √a ÷ √b est valable si a ≥ 0 et b > 0. Par exemple, √(9 ÷ 16) = √9 ÷ √16 = 3 ÷ 4. Vérifie toujours que le dénominateur n’est pas nul avant d’utiliser une écriture fractionnaire.
• Ne distribue jamais une racine carrée sur une addition ou une soustraction. √(9 + 16) = √25 = 5, alors que √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Ces deux résultats sont différents. De même, √(25 − 9) = 4, tandis que √25 − √9 = 2. La propriété du produit ne devient pas une propriété de la somme.
• Tu peux multiplier des racines carrées si les nombres sous les racines sont positifs ou nuls : √3 × √12 = √36 = 6. Dans une expression comme 2√3 × 5√12, commence par les coefficients : 2 × 5 = 10. Puis √3 × √12 = 6. Le résultat est 60. Range ton calcul en étapes : la lisibilité évite les erreurs.
• Pour comparer deux racines carrées, compare les nombres sous les racines lorsque ces nombres sont positifs ou nuls. Comme 13 < 17, on a √13 < √17. En effet, la fonction racine carrée conserve l’ordre sur les nombres positifs ou nuls. N’utilise pas cette idée avec des nombres négatifs, car leur racine carrée réelle n’existe pas.

Méthode : simplifier une racine carrée

Résoudre, interpréter et contrôler

Les racines carrées interviennent souvent dans les équations du type x² = a. Commence par regarder le signe de a. Si a < 0, l’équation n’a pas de solution dans les nombres réels, car un carré est toujours positif ou nul. Si a = 0, l’unique solution est x = 0. Si a > 0, l’équation possède deux solutions opposées : x = √a ou x = −√a. Ainsi, x² = 49 a pour solutions x = 7 et x = −7. La présence de deux solutions ne contredit pas le fait que √49 = 7 : la racine carrée est positive, tandis que l’équation demande quels nombres ont le carré 49.

En géométrie, la racine carrée apparaît notamment avec le théorème de Pythagore. Ce théorème s’applique uniquement dans un triangle rectangle. Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC², car BC est l’hypoténuse. Si AB = 6 cm et AC = 8 cm, alors BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Donc BC = √100 = 10 cm. La longueur est positive : tu ne peux jamais conclure BC = −10 cm. Si le résultat n’est pas un entier, garde une écriture exacte, par exemple BC = √58 cm, sauf si l’énoncé réclame une valeur approchée.

Avec une calculatrice, utilise la touche √ seulement après avoir écrit correctement le nombre ou l’expression sous la racine. Pour vérifier une approximation, élève-la au carré. Si tu annonces √50 ≈ 7,1, alors 7,1² = 50,41 : l’ordre de grandeur est cohérent, mais l’égalité exacte est fausse. En rédaction, distingue toujours « = » pour une égalité exacte et « ≈ » pour une valeur approchée. C’est un réflexe de rigueur qui fait la différence dans la finale.