La factorisation en 3ᵉ : cours, exercices et méthode pour le brevet

Comprendre le changement d’écriture

Développer et factoriser sont deux transformations inverses. Développer consiste à passer d’un produit à une somme ou à une différence. Par exemple, 4(x + 3) se développe en 4x + 12 grâce à la distributivité. Factoriser consiste à faire le chemin inverse : 4x + 12 devient 4(x + 3). Les deux écritures désignent exactement le même nombre pour toute valeur choisie de x. Tu ne modifies donc pas l’expression : tu changes seulement sa forme. Dans l’écriture 4(x + 3), 4 et (x + 3) sont les facteurs. Dans l’écriture 4x + 12, les termes sont 4x et 12. Une expression est dite factorisée lorsqu’elle est écrite sous la forme d’un produit. Attention : une expression peut déjà contenir un produit sans être complètement factorisée. Par exemple, 2x + 2(x − 1) contient un produit, mais il reste une addition entre deux termes. Après factorisation, on obtient 2[x + (x − 1)], puis 2(2x − 1). La forme finale comporte un produit entre 2 et une seule parenthèse. Pour reconnaître une situation de factorisation, observe les signes + et − qui séparent les termes. Cherche alors ce qui est présent dans chacun d’eux : un nombre, une lettre ou une parenthèse entière. C’est ton point de départ. Ne commence jamais par supprimer des termes ou par déplacer des nombres au hasard. La factorisation repose sur une distributivité précise, pas sur une intuition.

La règle du facteur commun

Repérer le bon facteur commun

Ton plan de jeu en quatre étapes

• Observe les termes séparés par + ou −. Dans 10x² − 15x, les deux termes sont 10x² et −15x. Le signe appartient au terme qui le suit : il faut donc le conserver pendant toute la recherche.
• Cherche le facteur numérique commun le plus grand. Pour 10 et 15, c’est 5. Si des lettres sont présentes dans tous les termes, cherche aussi la plus petite puissance commune. Dans x³ et x², le facteur commun est x², car x² divise x³ et x².
• Écris le facteur devant une parenthèse. Divise ensuite chaque terme par ce facteur pour remplir la parenthèse. Avec 10x² − 15x, tu écris 5x(2x − 3), car 10x² ÷ 5x = 2x et −15x ÷ 5x = −3.
• Développe mentalement pour vérifier. 5x × 2x = 10x² et 5x × (−3) = −15x : l’expression de départ est retrouvée. Cette vérification repère immédiatement une erreur de signe ou de division.
• Quand une parenthèse est répétée, traite-la comme un seul facteur. Dans (2x + 1)(x − 4) − 3(x − 4), le facteur commun est (x − 4), pas seulement x ni 4. On obtient (x − 4)[(2x + 1) − 3], puis (x − 4)(2x − 2).
• Ne cherche pas forcément à développer avant de factoriser. Développer peut cacher une structure utile. Si deux termes contiennent déjà le même groupe entre parenthèses, garde ce groupe visible et mets-le directement en facteur.

Utiliser les identités remarquables sans les confondre

Certaines expressions se factorisent grâce aux identités remarquables. Elles ne s’appliquent que si l’expression a exactement la forme attendue. Première identité : a² + 2ab + b² = (a + b)². Par exemple, x² + 10x + 25 = (x + 5)², car 25 = 5² et 10x = 2 × x × 5. Deuxième identité : a² − 2ab + b² = (a − b)². Ainsi, 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)² : 4x² = (2x)², 9 = 3² et −12x = −2 × 2x × 3. Troisième identité : a² − b² = (a − b)(a + b). Elle concerne uniquement une différence de deux carrés. Donc x² − 49 = (x − 7)(x + 7), car 49 = 7². En revanche, x² + 49 ne peut pas être factorisé avec cette identité : il y a une somme de carrés, non une différence. De même, x² − 6x + 9 est un carré parfait, mais x² − 6x − 9 ne l’est pas : le dernier terme est négatif. Avant d’écrire une identité, identifie a et b, contrôle les carrés aux extrémités, puis vérifie le terme du milieu. Cette discipline t’évite de fabriquer une fausse factorisation. Si aucun facteur commun ni aucune identité remarquable n’apparaît, n’invente rien : certaines expressions ne se factorisent pas avec les outils étudiés.

Factoriser pour résoudre une équation

La forme factorisée est particulièrement utile pour résoudre une équation du type produit égal à zéro. La règle est la suivante : si un produit de facteurs est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul. Elle s’écrit : si A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0. Cette règle ne vaut que lorsque le second membre est 0 et que l’on a bien un produit. Pour résoudre x² − 5x = 0, factorise d’abord par x : x(x − 5) = 0. Applique ensuite la règle du produit nul : x = 0 ou x − 5 = 0. La deuxième équation donne x = 5. Les solutions sont donc 0 et 5. Ne divise surtout pas les deux membres par x au début : tu supprimerais la solution x = 0. Avec (3x + 2)(x − 4) = 0, aucun développement n’est nécessaire. Résous séparément 3x + 2 = 0, d’où x = −2÷3, puis x − 4 = 0, d’où x = 4. Dans une rédaction, saute une ligne entre les deux équations : tes branches de raisonnement seront lisibles. Enfin, vérifie une solution en la remplaçant dans l’expression initiale. Pour x = 4, le facteur x − 4 vaut 0, donc le produit vaut bien 0. C’est une récupération courte, mais elle sécurise ta copie.