Calcul au brevet en 3ᵉ : signes, priorités, puissances, racines et PGCD à maîtriser

Le plan de jeu des automatismes

Les automatismes sont des calculs que tu dois pouvoir traiter vite, avec ou sans calculatrice selon la consigne. Ils ne demandent pas une longue démonstration, mais ils exigent une rigueur totale. Un signe oublié, une parenthèse mal lue ou une priorité ignorée suffit à rendre un résultat faux. Avant de calculer, repère la nature de l’expression : contient-elle des nombres négatifs, des puissances, une racine carrée, des lettres ou une question de divisibilité ? Tu choisis alors la règle adaptée. Ne mélange pas les étapes. Dans une expression numérique, calcule d’abord les parenthèses, puis les puissances et les racines carrées, ensuite les multiplications et divisions de gauche à droite, enfin les additions et soustractions de gauche à droite. Cette règle vaut pour toute expression écrite sans fraction complexe ni indication contraire. Par exemple, dans A = 7 − 3 × 2², on calcule 2² = 4, puis 3 × 4 = 12, donc A = 7 − 12 = −5. Écrire directement 8² ou 4 × 7 serait une erreur de lecture. Lorsqu’une question demande une valeur exacte, ne transforme pas √36 en 6,0 et ne donne pas une approximation inutile. Lis aussi les mots de la consigne : « calculer » impose un résultat ; « développer » impose de supprimer des parenthèses ; « factoriser » impose de faire apparaître un produit ; « justifier » impose d’écrire la propriété utilisée. Ton objectif est simple : chaque ligne doit pouvoir être contrôlée par un correcteur. La même méthode s’applique aux exercices sur les fractions et l’écriture scientifique.

Signes et priorités : les réflexes indispensables

Parenthèses : ne perds pas le signe

Puissances et racines carrées : connaître le domaine de chaque règle

• Pour tout nombre a, a² signifie a × a et a³ signifie a × a × a. Ainsi, 4³ = 64 et (−2)³ = −8.
• Pour un même nombre non nul a, aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Par exemple, 10² × 10³ = 10⁵. Cette règle ne permet pas d’additionner les exposants dans 10² + 10³.
• Pour un même nombre non nul a, aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ lorsque m est supérieur ou égal à n. Ainsi, 5⁶ ÷ 5² = 5⁴ = 625.
• Le produit de puissances de même exposant vérifie aⁿ × bⁿ = (a × b)ⁿ. Par exemple, 2³ × 5³ = 10³ = 1 000. Cette règle concerne un produit, jamais une somme.
• La racine carrée de x, notée √x, est le nombre positif ou nul dont le carré vaut x. Dans les nombres réels, √x existe seulement si x est positif ou nul.
• √49 = 7 car 7² = 49. En revanche, √(−9) n’existe pas dans les nombres réels. N’écris jamais √49 = ±7 : la racine carrée désigne 7 seulement.
• La propriété √(a²) = a est valable si a est positif ou nul. Plus généralement, √(a²) est la distance de a à zéro : √((−6)²) = 6.

Calcul littéral : transformer sans déformer

Une expression littérale contient des nombres et des lettres représentant des nombres. Réduire une expression, c’est regrouper uniquement les termes semblables. Les termes 5x et −2x sont semblables, car ils contiennent la même lettre x à la puissance 1. Donc 5x − 2x = 3x. En revanche, 5x et 5x² ne sont pas semblables : tu ne peux pas les additionner. Dans 3a + 4 − 7a + 2, regroupe d’un côté les termes en a et de l’autre les nombres : 3a − 7a + 4 + 2 = −4a + 6. Respecte les signes quand tu changes l’ordre des termes. Développer consiste à supprimer des parenthèses grâce à la distributivité. Pour tous nombres a, b et k, k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb. Ainsi, −3(2x − 5) = −6x + 15 : le facteur −3 est multiplié par chacun des deux termes. Si deux parenthèses sont précédées d’un signe plus, elles peuvent être supprimées sans changer les signes : x + (4x − 9) = 5x − 9. Si une parenthèse est précédée d’un signe moins, tous ses signes changent : 6x − (2x + 7) = 6x − 2x − 7 = 4x − 7. Factoriser est l’opération inverse : tu fais apparaître un facteur commun. Dans 8x + 12, le facteur commun 4 donne 8x + 12 = 4(2x + 3). Vérifie toujours une factorisation en développant mentalement. Pour calculer une expression littérale pour une valeur donnée, remplace la lettre par cette valeur en utilisant des parenthèses, surtout si elle est négative. Si B = 2x² − 3x et x = −4, alors B = 2 × (−4)² − 3 × (−4) = 2 × 16 + 12 = 44. Les parenthèses évitent de transformer par erreur (−4)² en −16.

Arithmétique : diviseurs, nombres premiers et PGCD

L’arithmétique traite notamment des diviseurs entiers positifs. Dire que 6 divise 42 signifie qu’il existe un entier k tel que 42 = 6 × k ; ici, k = 7. Le symbole 42 ÷ 6 se lit « 42 est divisible par 6 ». Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui possède exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même. Ainsi, 2, 3, 5, 7 et 11 sont premiers, tandis que 1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur positif. Pour décomposer un entier en produit de facteurs premiers, divise-le successivement par des nombres premiers. Par exemple, 84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2² × 3 × 7. Cette écriture est utile pour trouver un PGCD. Le PGCD de deux entiers positifs est leur plus grand diviseur commun. Avec 84 = 2² × 3 × 7 et 60 = 2² × 3 × 5, les facteurs premiers communs sont 2² et 3. Donc PGCD(84 ; 60) = 2² × 3 = 12. Dans un problème de partage en lots identiques les plus grands possible, le PGCD donne souvent le nombre d’objets par lot ou le nombre maximal de groupes, selon ce qui est demandé. Lis la situation avant de répondre : un calcul seul ne suffit pas. Deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Cela ne signifie pas qu’ils sont tous les deux premiers : 8 et 15 sont premiers entre eux, mais 8 n’est pas un nombre premier.

Le contrôle final de Coach Vince