Exercices de maths du brevet en 3ᵉ : fractions, écriture scientifique et rédaction justifiée

Ton plan de jeu pour les automatismes

Les fractions font partie des automatismes du brevet, ces calculs courts qui doivent devenir sûrs, avec les nombres relatifs, les puissances, le calcul littéral, les racines carrées et l’arithmétique. Tu peux les rencontrer dans une question isolée ou au service d’un problème de géométrie, de proportionnalité ou de fonctions. Ton premier réflexe est donc d’identifier l’objet mathématique. Des parenthèses dans une expression appellent les priorités opératoires. Une lettre t’invite souvent à développer, factoriser ou réduire. Une écriture comme 2⁵ relève d’une règle sur les puissances. Un entier décomposable en facteurs relève de l’arithmétique. Ne saute jamais directement au résultat. Écris une ligne par transformation importante et conserve le signe égal uniquement entre deux expressions qui ont la même valeur. Par exemple, si A = 7 − 3 × 4, tu écris A = 7 − 12 puis A = −5. Il serait faux d’écrire A = 7 − 3 × 4 = 4 × 4 : l’expression 4 × 4 ne vaut pas −5. La présentation est un outil de contrôle, pas une décoration. Dans un calcul numérique, applique cet ordre : parenthèses, puissances et racines carrées, multiplications et divisions de gauche à droite, additions et soustractions de gauche à droite. Une barre de fraction joue le rôle de parenthèses : calcule entièrement le numérateur et le dénominateur avant d’effectuer la division. Si une consigne impose le calcul mental, n’écris pas de décimales inutiles. Si tu utilises une calculatrice lorsque cela est autorisé, elle vérifie ton travail mais ne choisit pas la règle à ta place. Avant de conclure, contrôle la cohérence. Un produit de deux nombres négatifs doit être positif. Le carré d’un nombre réel ne peut pas être négatif. Une fraction simplifiée doit garder la même valeur. Cette vérification de quelques secondes évite beaucoup d’erreurs d’étourderie. Vise la régularité : une série courte, corrigée avec soin, construit davantage de réflexes qu’un long calcul bâclé. Pour transformer ces réflexes en plan de jeu le jour J, entraîne-toi sur des annales de maths du brevet corrigées.

Règles de signes et priorités à connaître sans hésiter

Puissances, écriture scientifique et racines carrées

• Pour tout nombre a et tout entier positif n, aⁿ est le produit de n facteurs égaux à a. Ainsi, 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. L’exposant indique le nombre de facteurs, pas le nombre de zéros à ajouter.
• Pour un même nombre non nul a, aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ et aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Ces règles ne s’appliquent que lorsque la base est exactement la même. Par exemple, 5³ × 5² = 5⁵, mais 5³ + 5² ne vaut pas 5⁵.
• Une puissance d’un produit se traite ainsi : (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ. Une puissance d’un quotient se traite ainsi : (a ÷ b)ⁿ = aⁿ ÷ bⁿ, à condition que b ne soit pas nul. En revanche, (a + b)² n’est généralement pas égal à a² + b².
• Le signe dépend des parenthèses. (−2)⁴ = 16 car le nombre négatif est élevé à une puissance paire. Mais −2⁴ = −16 car seule la puissance 2⁴ est calculée avant l’opposé. Lis l’écriture exactement.
• L’écriture scientifique d’un nombre positif est a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif. Ainsi, 48 000 = 4,8 × 10⁴ et 0,00072 = 7,2 × 10⁻⁴. Déplace la virgule pour obtenir un nombre compris entre 1 et 10.
• La racine carrée √a d’un nombre a positif ou nul est l’unique nombre positif ou nul dont le carré vaut a. Donc √49 = 7, car 7² = 49. Il n’existe pas de racine carrée réelle pour un nombre négatif.
• Tu peux utiliser √(a²) = |a| pour tout nombre réel a. Les barres |a| désignent la distance à zéro. Ainsi, √((−5)²) = 5 et non −5. En revanche, √(a² + b²) ne se sépare pas en √a² + √b².

Calcul littéral : transforme seulement ce que la règle autorise

Fractions et arithmétique : travailler avec des entiers

Une fraction a ÷ b représente un quotient, avec b différent de zéro. Deux fractions sont égales si l’on multiplie ou divise leur numérateur et leur dénominateur par un même nombre non nul. Simplifier 18 ÷ 24 consiste à chercher un diviseur commun : 18 ÷ 24 = 3 ÷ 4 après division du numérateur et du dénominateur par 6. Ne simplifie jamais à travers une addition : dans (6 + 3) ÷ 9, le 3 du numérateur n’est pas un facteur commun ; tu calcules d’abord 9 ÷ 9 = 1. Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut un dénominateur commun. Ainsi, 2 ÷ 3 + 5 ÷ 6 = 4 ÷ 6 + 5 ÷ 6 = 9 ÷ 6 = 3 ÷ 2. Pour multiplier, multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : 3 ÷ 5 × 10 ÷ 9 = 30 ÷ 45 = 2 ÷ 3. Tu peux simplifier des facteurs avant le produit si cela rend le calcul plus simple. Pour diviser par une fraction non nulle, multiplie par son inverse : 4 ÷ 7 ÷ 2 ÷ 3 = 4 ÷ 7 × 3 ÷ 2 = 6 ÷ 7. En arithmétique, un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Le nombre 1 n’est pas premier. La décomposition en produit de facteurs premiers consiste à n’utiliser que des nombres premiers. Par exemple, 84 = 2² × 3 × 7. Cette écriture permet de trouver un PGCD, le plus grand diviseur commun, et un PPCM, le plus petit multiple commun. Pour le PGCD de 84 et 126, décompose : 84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7. Les facteurs communs avec les plus petits exposants donnent 2 × 3 × 7 = 42. Le PGCD sert notamment à partager des objets en paquets identiques les plus grands possibles, sans reste.

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