Mathématiques en 3ᵉ : cours, exercices et méthode pour le brevet

1. Sécuriser les calculs avec les nombres relatifs

Un nombre relatif possède un signe : positif ou négatif. Le signe + d'un nombre positif est souvent invisible ; +7 et 7 désignent le même nombre. Le signe − fait partie du nombre : dans −8 + 3, le premier signe est celui de −8 et le second est l'opération d'addition. Pour additionner deux nombres de même signe, additionne leurs distances à zéro et conserve le signe commun. Ainsi, −6 + (−11) = −17. Pour additionner deux nombres de signes contraires, soustrais la plus petite distance à zéro de la plus grande et garde le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro : −14 + 9 = −5. Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé : 7 − (−4) = 7 + 4 = 11. Cette transformation est particulièrement utile dès qu'une parenthèse suit un signe −. Attention : −(a + b) = −a − b, car tu multiplies toute la parenthèse par −1. Par exemple, −(3 − 8) = −3 + 8 = 5. Pour un produit ou un quotient de nombres relatifs, applique la règle des signes seulement après avoir identifié les facteurs ou les diviseurs : même signe, résultat positif ; signes différents, résultat négatif. Ainsi, (−5) × (−3) = 15, tandis que 24 ÷ (−6) = −4. Dans une expression sans parenthèses, respecte toujours les priorités : calcule d'abord les parenthèses, puis les puissances et les racines carrées, ensuite les multiplications et divisions dans l'ordre de gauche à droite, enfin les additions et soustractions dans l'ordre de gauche à droite. Ne mélange pas ces étapes. Dans A = −3 + 4 × (−2), le produit vaut −8 avant l'addition ; donc A = −3 − 8 = −11. Écrire une ligne de calcul par transformation évite de perdre un signe. Coach Vince te le rappelle : le signe est un élément du calcul, jamais un détail décoratif.

2. Puissances : lire, calculer et transformer

3. Calcul littéral : développer, réduire et factoriser

• Une expression littérale contient une ou plusieurs lettres qui représentent des nombres. Dans 4x − 7, la lettre x peut prendre différentes valeurs. Pour calculer une valeur numérique, remplace chaque lettre par sa valeur en conservant les parenthèses. Si x = −2, alors 4x − 7 = 4 × (−2) − 7 = −15. Sans les parenthèses, le signe du nombre négatif peut être mal traité.
• Développer consiste à supprimer une parenthèse précédée d'une multiplication. La distributivité donne k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb, pour tous nombres k, a et b. Ainsi, 5(2x − 3) = 10x − 15. Si le facteur est négatif, distribue-le aussi : −2(3x − 4) = −6x + 8. Tu ne peux pas supprimer une parenthèse sans modifier les signes lorsqu'elle est précédée de −1 : −(x − 5) = −x + 5.
• Réduire consiste à regrouper uniquement les termes semblables, c'est-à-dire ceux qui ont exactement la même partie littérale. 3x + 8x = 11x, mais 3x + 8 ne se réduit pas. De même, 2x² + 5x² = 7x², tandis que 2x² + 5x reste inchangé : x² et x ne sont pas semblables. Après développement, range les termes de même nature : 4x − 6 + 3x + 9 = 7x + 3.
• Factoriser est l'opération inverse du développement. Tu cherches un facteur commun à tous les termes. Dans 12x − 18, 6 est commun : 12x − 18 = 6(2x − 3). Dans 8x² + 4x, 4x est commun : 8x² + 4x = 4x(2x + 1). Vérifie toujours ton résultat en développant mentalement la forme factorisée.
• Une égalité doit rester vraie pour les valeurs autorisées de la lettre. Lorsque tu résous une équation, tu effectues la même opération sur les deux membres. Pour 3x − 5 = 16, ajoute 5 aux deux membres, puis divise les deux membres par 3 : 3x = 21, donc x = 7. Ne divise jamais par une expression dont tu ne sais pas si elle vaut zéro.

4. Racines carrées : une définition à connaître sans approximation

5. Nombres premiers et PGCD : organiser les diviseurs

Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui possède exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même. Ainsi, 2, 3, 5, 7 et 11 sont premiers. Le nombre 1 n'est pas premier, car il n'a qu'un seul diviseur positif. Pour savoir si un entier est premier, cherche s'il admet un diviseur premier autre que 1 et lui-même. Tu peux t'arrêter lorsque les diviseurs testés deviennent trop grands pour former un produit inférieur ou égal au nombre étudié. La décomposition en produit de facteurs premiers consiste à écrire un entier comme produit de nombres premiers. Par exemple, 84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2² × 3 × 7. Cette écriture permet de repérer efficacement les diviseurs communs. Le PGCD de deux entiers non nuls est leur plus grand diviseur commun. Avec 84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7, les facteurs premiers communs sont 2, 3 et 7. Donc PGCD(84 ; 126) = 2 × 3 × 7 = 42. Tu peux aussi utiliser l'algorithme d'Euclide : le PGCD de deux nombres est égal au PGCD du plus petit nombre et du reste de la division euclidienne du plus grand par le plus petit. Cette méthode fonctionne pour des entiers positifs. Le PGCD sert notamment à simplifier une fraction : divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Ainsi, 84 ÷ 126 = 2 ÷ 3 après division par 42, donc 84 ÷ 126 = 2 ÷ 3. Dans un problème de partage en groupes identiques, le PGCD donne souvent le plus grand nombre de groupes possibles. Lis toutefois la situation : un calcul de PGCD doit toujours répondre à une question de diviseurs communs.