Le QG 
Arithmétique en 3ᵉ : cours, exercices et méthode pour le brevet
L'essentiel avec Coach Vince
- Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.
- La décomposition en facteurs premiers permet de calculer un PGCD et de simplifier une fraction avec méthode.
- Coach Vince te demande une rédaction nette : règle annoncée, calcul organisé, conclusion précise.
Diviseurs, multiples et vocabulaire de départ
L’arithmétique étudie les propriétés des nombres entiers. Pour travailler proprement, commence par distinguer les mots essentiels. Dire que a divise b signifie qu’il existe un entier k tel que b = a × k. On note aussi a ∣ b. Dans cette situation, a est un diviseur de b et b est un multiple de a. Par exemple, 7 divise 42 car 42 = 7 × 6. Donc 7 est un diviseur de 42, et 42 est un multiple de 7. En revanche, 8 ne divise pas 42 : aucune multiplication de 8 par un entier ne donne 42. Ne confonds pas « diviseur » et « multiple » : 6 est un diviseur de 30, tandis que 30 est un multiple de 6. Un nombre positif possède toujours au moins les diviseurs 1 et lui-même. Les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18. Ils vont souvent par paires : 1 × 18, 2 × 9 et 3 × 6. Cette observation est utile pour les lister sans oubli. Le nombre 1 n’est pas premier, car il n’a qu’un seul diviseur positif. Le nombre 0 est divisible par tout entier non nul. Dans le cadre usuel du collège, on exclut 0 comme diviseur, car une division par 0 n’a pas de sens. Avec la définition a ∣ b si b = a × k, on peut toutefois dire que 0 divise 0, puisque 0 = 0 × k pour tout entier k. Reste vigilant sur ce cas particulier.
Tests de divisibilité : le bon réflexe avant de calculer
- Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. Ainsi, 1 346 est divisible par 2.
- Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. Pour 1 347, la somme vaut 1 + 3 + 4 + 7 = 15 ; 1 347 est donc divisible par 3.
- Un entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. Le nombre 2 175 est divisible par 5.
- Un entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9. Pour 4 653, la somme vaut 4 + 6 + 5 + 3 = 18 ; 4 653 est donc divisible par 9.
- Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. Comme 36 est divisible par 4, 2 736 est divisible par 4.
- Ces critères servent uniquement à décider une divisibilité par 2, 3, 4, 5 ou 9. Ils ne remplacent pas une division pour un autre diviseur. Pour savoir si 221 est divisible par 13, un test de somme des chiffres ne suffit pas.
Reconnaître et décomposer un nombre premier
| Notion | Définition ou méthode | Exemple |
|---|---|---|
| Nombre premier | Entier positif ayant exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même. | 17 est premier : ses seuls diviseurs sont 1 et 17. |
| Nombre composé | Entier positif supérieur à 1 qui possède plus de deux diviseurs positifs. | 18 est composé car 2, 3, 6 et 9 le divisent aussi. |
| Décomposition en facteurs premiers | Écrire un entier supérieur à 1 comme produit de nombres premiers uniquement. | 84 = 2² × 3 × 7. |
| Méthode | Divise successivement par le plus petit nombre premier possible, jusqu’à obtenir 1. | 90 = 2 × 45 = 2 × 3 × 15 = 2 × 3² × 5. |
Décomposer sans te tromper
La décomposition en facteurs premiers s’applique à tout entier positif supérieur ou égal à 2. Cherche d’abord si le nombre est pair : s’il l’est, divise par 2. Sinon, teste 3 grâce à la somme des chiffres, puis 5, puis les autres nombres premiers dans l’ordre. À chaque ligne, écris une égalité exacte. Pour décomposer 420, tu peux écrire : 420 = 2 × 210 = 2 × 2 × 105 = 2² × 3 × 35 = 2² × 3 × 5 × 7. La forme finale est 420 = 2² × 3 × 5 × 7. Ne termine jamais avec un facteur composé, par exemple 420 = 4 × 3 × 5 × 7 : l’égalité est vraie, mais ce n’est pas une décomposition en facteurs premiers, car 4 = 2². Vérifie ton résultat en multipliant les facteurs : 2² × 3 × 5 × 7 = 4 × 3 × 5 × 7 = 420. Cette vérification rapide évite une erreur de calcul. Quand un même facteur premier apparaît plusieurs fois, utilise une puissance : 2 × 2 × 2 = 2³. L’exposant indique combien de fois le facteur est répété ; il ne s’agit pas d’une multiplication par cet exposant.
PGCD : trouver le plus grand diviseur commun
Le PGCD de deux entiers non nuls est leur plus grand diviseur commun. PGCD signifie « plus grand commun diviseur ». Il est toujours positif. Pour calculer le PGCD de deux nombres avec leurs décompositions, décompose chaque nombre en facteurs premiers, repère les facteurs présents dans les deux écritures et garde-les avec le plus petit exposant commun. Prenons 180 et 252. On obtient 180 = 2² × 3² × 5 et 252 = 2² × 3² × 7. Les facteurs communs sont 2² et 3². Donc PGCD(180 ; 252) = 2² × 3² = 36. Le facteur 5 n’apparaît que dans 180, le facteur 7 seulement dans 252 : ils ne doivent pas être gardés. Si les deux nombres n’ont aucun diviseur commun autre que 1, leur PGCD vaut 1 ; ils sont alors premiers entre eux. Cette expression ne signifie pas que chacun est premier. Par exemple, 8 et 15 sont premiers entre eux, pourtant 8 n’est pas premier. Le PGCD intervient dans les problèmes de partage en lots identiques. Si tu dois répartir 180 objets d’une sorte et 252 objets d’une autre dans le plus grand nombre possible de lots identiques, sans reste, le nombre de lots est PGCD(180 ; 252), donc 36. Chaque lot contient alors 180 ÷ 36 = 5 objets de la première sorte et 252 ÷ 36 = 7 objets de la seconde. Lis toujours le contexte : le PGCD donne ici le nombre maximal de lots, pas le contenu total d’un lot.
Simplifier une fraction jusqu’à l’écriture irréductible
Pour simplifier une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers, tu peux diviser ces deux nombres par un même diviseur non nul. Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux, donc lorsque leur PGCD vaut 1. La méthode la plus sûre consiste à calculer le PGCD. Pour 126 ÷ 210, les décompositions donnent 126 = 2 × 3² × 7 et 210 = 2 × 3 × 5 × 7. Le PGCD est 2 × 3 × 7 = 42. Alors 126 ÷ 210 = 3 ÷ 5, car 126 ÷ 42 = 3 et 210 ÷ 42 = 5. La fraction 3 ÷ 5 est irréductible puisque PGCD(3 ; 5) = 1. Ne divise jamais seulement le numérateur ou seulement le dénominateur : tu changerais la valeur de la fraction. Ne simplifie pas non plus « en diagonale » dans une addition de fractions. La simplification concerne une fraction écrite comme un quotient, ou un facteur commun dans un produit, pas les termes séparés par + ou −. Ton plan de jeu est simple : décompose, repère le commun, calcule, puis conclus par une phrase.
Au brevet, on te demande…
Tu dois décomposer des entiers, calculer un PGCD, simplifier une fraction ou résoudre un problème de partage sans reste en justifiant le choix du PGCD.
- Type de question
- Calcul à justifier, problème contextualisé et QCM d’automatismes sans calculatrice.
- Exemple type
- Deux rubans de 84 cm et 126 cm doivent être découpés en morceaux de même longueur, la plus grande possible, sans chute. Quelle longueur choisir ?
- Alerte piège au brevet
- Trouver un diviseur commun sans vérifier qu’il est le plus grand, ou donner le PGCD sans répondre à la question concrète sur les lots, les morceaux ou la fraction.
Exemples résolus
Calculer un PGCD par décomposition
Énoncé. Calcule PGCD(168 ; 360).
- Décompose 168 : 168 = 2³ × 3 × 7.
- Décompose 360 : 360 = 2³ × 3² × 5.
- Repère les facteurs premiers communs avec le plus petit exposant : 2³ et 3.
- Calcule : 2³ × 3 = 8 × 3 = 24.
Résultat : PGCD(168 ; 360) = 24.
Répartir en lots identiques
Énoncé. Une association possède 144 cahiers et 216 stylos. Elle veut préparer le plus grand nombre de lots identiques, sans reste. Détermine ce nombre de lots et leur contenu.
- Le nombre maximal de lots doit diviser 144 et 216 : il s’agit donc de leur PGCD.
- Décompose : 144 = 2⁴ × 3² et 216 = 2³ × 3³.
- Les facteurs communs au plus petit exposant sont 2³ × 3², soit 8 × 9 = 72.
- Calcule le contenu d’un lot : 144 ÷ 72 = 2 cahiers et 216 ÷ 72 = 3 stylos.
Résultat : L’association peut préparer 72 lots identiques contenant chacun 2 cahiers et 3 stylos.
Rendre une fraction irréductible
Énoncé. Rends la fraction 198 ÷ 330 irréductible.
- Décompose : 198 = 2 × 3² × 11 et 330 = 2 × 3 × 5 × 11.
- Le PGCD est 2 × 3 × 11 = 66.
- Divise le numérateur et le dénominateur par 66 : 198 ÷ 66 = 3 et 330 ÷ 66 = 5.
- Vérifie que 3 et 5 sont premiers entre eux.
Résultat : 198 ÷ 330 = 3 ÷ 5, fraction irréductible.
Annonce la règle utile
Avant un PGCD, écris que tu décomposes les deux nombres en facteurs premiers et que tu gardes les facteurs communs. Ta conclusion devient vérifiable ligne par ligne.
Contrôle final
Après une simplification, vérifie que le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux. Après un problème de lots, multiplie le contenu d’un lot par le nombre de lots pour retrouver les quantités initiales.
Ta séance d'entraînement
Tests rapides
★☆☆Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse.
- 2 418 est divisible par 3.
- 5 724 est divisible par 5.
- 3 636 est divisible par 4.
Voir le corrigé
- Vrai. Explication : La somme des chiffres vaut 2 + 4 + 1 + 8 = 15, qui est divisible par 3.
- Faux. Explication : Son chiffre des unités est 4.
- Vrai. Explication : Ses deux derniers chiffres forment 36, qui est divisible par 4.
Nombre premier ou composé
★☆☆Classe chaque nombre.
- 29
- 51
- 1
Voir le corrigé
- 29 est premier. Explication : Il n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5.
- 51 est composé. Explication : 51 = 3 × 17.
- 1 n’est ni premier ni composé. Explication : Il n’a qu’un seul diviseur positif.
Décompositions nettes
★☆☆Décompose chaque entier en produit de facteurs premiers.
- 72
- 150
- 231
Voir le corrigé
- 72 = 2³ × 3². Explication : 72 = 8 × 9.
- 150 = 2 × 3 × 5². Explication : 150 = 2 × 75 = 2 × 3 × 25.
- 231 = 3 × 7 × 11. Explication : 231 est divisible par 3, puis 77 = 7 × 11.
Calculer des PGCD
★★☆Calcule chaque PGCD par décomposition en facteurs premiers.
- PGCD(54 ; 90)
- PGCD(56 ; 75)
Voir le corrigé
- 54 = 2 × 3³ et 90 = 2 × 3² × 5, donc PGCD(54 ; 90) = 2 × 3² = 18. Explication : On garde les facteurs communs 2 et 3².
- 56 = 2³ × 7 et 75 = 3 × 5², donc PGCD(56 ; 75) = 1. Explication : Les deux nombres sont premiers entre eux.
Dernière simplification
★★☆Rends chaque fraction irréductible.
- 84 ÷ 126
- 156 ÷ 234
Voir le corrigé
- 84 ÷ 126 = 2 ÷ 3. Explication : PGCD(84 ; 126) = 42.
- 156 ÷ 234 = 2 ÷ 3. Explication : PGCD(156 ; 234) = 78.
Répartition maximale
★★☆Résous le problème en rédigeant ta démarche.
On dispose de 96 bouteilles d’eau et de 144 barres de céréales. On veut former le plus grand nombre de lots identiques, sans reste. Détermine le nombre de lots et leur contenu.
Voir le corrigé
- Le nombre maximal de lots est PGCD(96 ; 144). Or 96 = 2⁵ × 3 et 144 = 2⁴ × 3². Donc PGCD(96 ; 144) = 2⁴ × 3 = 48. On peut former 48 lots. Chaque lot contient 96 ÷ 48 = 2 bouteilles d’eau et 144 ÷ 48 = 3 barres de céréales. Explication : Le PGCD donne le nombre maximal de lots identiques.
Corriger un raisonnement
★★★Analyse l’erreur et rédige la correction.
Un élève écrit : « 84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7, donc PGCD(84 ; 126) = 2² × 3² × 7 = 252. »
Voir le corrigé
- L’élève a gardé les plus grands exposants, ce qui donne un multiple commun et non un diviseur commun. Pour le PGCD, on garde les facteurs communs avec les plus petits exposants : 2 × 3 × 7 = 42. Donc PGCD(84 ; 126) = 42. Explication : Un PGCD doit diviser chacun des deux nombres.
Finale : découpe sans chute
★★★Justifie la longueur maximale des morceaux et leur nombre total.
Deux rubans mesurent 198 cm et 330 cm. On les découpe en morceaux de même longueur, la plus grande possible, sans chute. Détermine la longueur d’un morceau puis le nombre total de morceaux.
Voir le corrigé
- La longueur maximale doit être un diviseur commun de 198 et 330 : elle est donc PGCD(198 ; 330). Or 198 = 2 × 3² × 11 et 330 = 2 × 3 × 5 × 11. Ainsi, PGCD(198 ; 330) = 2 × 3 × 11 = 66. Chaque morceau mesure 66 cm. Le premier ruban donne 198 ÷ 66 = 3 morceaux et le second 330 ÷ 66 = 5 morceaux, soit 8 morceaux au total. Explication : La longueur cherchée doit être maximale et diviser les deux longueurs.
Évaluation
Rédige les calculs nécessaires et donne une conclusion pour chaque problème.
- Décompose 420 en produit de facteurs premiers./ 3
- Indique si 1 458 est divisible par 9 et justifie./ 2
- Calcule PGCD(126 ; 210) par décomposition./ 4
- Rends irréductible la fraction 126 ÷ 210./ 3
- Explique pourquoi 14 et 25 sont premiers entre eux./ 3
- Avec 126 roses et 210 tulipes, détermine le plus grand nombre de bouquets identiques sans reste et leur composition./ 5
Voir le corrigé de l'évaluation
- 420 = 2² × 3 × 5 × 7. (3 pts)
- Oui, car 1 + 4 + 5 + 8 = 18 et 18 est divisible par 9. (2 pts)
- 126 = 2 × 3² × 7 et 210 = 2 × 3 × 5 × 7. Donc PGCD(126 ; 210) = 2 × 3 × 7 = 42. (4 pts)
- PGCD(126 ; 210) = 42, donc 126 ÷ 210 = 3 ÷ 5. (3 pts)
- 14 = 2 × 7 et 25 = 5². Ils n’ont aucun facteur premier commun, donc PGCD(14 ; 25) = 1 : ils sont premiers entre eux. (3 pts)
- Le nombre maximal de bouquets est PGCD(126 ; 210) = 42. Chaque bouquet contient 126 ÷ 42 = 3 roses et 210 ÷ 42 = 5 tulipes. (5 pts)
Erreurs fréquentes
| Erreur à éviter | Pourquoi | Le bon réflexe |
|---|---|---|
| Écrire que 1 est un nombre premier. | Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs positifs distincts, alors que 1 n’a que lui-même. | Apprends le cas particulier : 1 n’est ni premier ni composé. |
| Garder tous les facteurs d’une décomposition pour calculer un PGCD. | Le PGCD ne conserve que les facteurs présents dans les deux nombres. | Surligne seulement les facteurs communs, puis choisis le plus petit exposant. |
| Simplifier une fraction en divisant seulement son dénominateur. | La valeur d’un quotient change si numérateur et dénominateur ne sont pas divisés par le même nombre non nul. | Écris systématiquement la même division en haut et en bas. |
Guide pour les parents
Faites verbaliser la méthode avant de regarder les calculs : votre adolescent doit pouvoir expliquer pourquoi il cherche un PGCD.
- Demandez-lui de décomposer deux nombres à voix haute, puis de vérifier en remultipliant les facteurs premiers.
- Proposez un problème de répartition concret et laissez-le choisir seul entre PGCD, calcul de quotient ou simplification de fraction.
Temps conseillé : ~20 min.
Questions fréquentes
Comment savoir si je dois utiliser le PGCD dans un problème ?
Cherche des mots comme « plus grand nombre de groupes », « lots identiques », « sans reste » ou « maximum ». Vérifie que ce nombre doit diviser toutes les quantités.
Deux nombres premiers entre eux sont-ils forcément premiers ?
Non. Cela signifie seulement que leur PGCD vaut 1. Par exemple, 8 et 15 sont premiers entre eux.
Puis-je utiliser une décomposition incomplète pour un PGCD ?
Non. Tous les facteurs de la forme finale doivent être premiers, sinon tu risques de manquer un facteur commun.
Que faut-il rédiger au brevet pour un problème de lots ?
Indique que le nombre maximal de lots est le PGCD des quantités, calcule-le, puis donne le contenu d’un lot avec les divisions correspondantes.
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