L'essentiel avec Coach Vince
Une identité remarquable est une égalité vraie pour tous les nombres relatifs a et b : elle relie une expression écrite sous forme de produit à la même expression écrite sous forme de somme algébrique. Le mot identité signifie que l'égalité est toujours vraie, quels que soient les nombres choisis pour a et b — ce n'est pas une équation à résoudre, mais une transformation d'écriture. Une identité remarquable s'utilise dans les deux sens : développer, c'est-à-dire passer d'un produit à une somme, et factoriser, c'est-à-dire passer d'une somme à un produit. Le programme de 3ᵉ impose de connaître par cœur trois identités remarquables, obtenues en développant systématiquement un produit de deux facteurs identiques ou complémentaires. Chacune porte un nom lié à sa structure de départ : le carré d'une somme, le carré d'une différence, et le produit d'une somme par une différence. Le vocabulaire compte : un carré parfait désigne un terme qui s'écrit comme le carré d'un nombre ou d'une expression, comme 9x² qui est le carré de 3x. Le terme central 2ab est appelé le double produit : il vaut le double du produit des deux termes a et b, jamais leur simple produit. Reconnaître immédiatement laquelle des trois s'applique à une expression donnée est une compétence clé de calcul littéral, mobilisée dans les exercices de calcul dits « automatismes », souvent proposés en début d'épreuve de mathématiques au brevet, où le temps de réflexion est limité.
| Nom | Formule | Développement | Exemple numérique |
|---|---|---|---|
| Carré d'une somme | (a + b)² | a² + 2ab + b² | (x + 3)² = x² + 6x + 9 |
| Carré d'une différence | (a − b)² | a² − 2ab + b² | (x − 5)² = x² − 10x + 25 |
| Somme par différence | (a + b)(a − b) | a² − b² | (x + 4)(x − 4) = x² − 16 |
Chaque identité remarquable se démontre par la double distributivité, c'est-à-dire le développement d'un produit de deux sommes. Pour (a + b)², on part de l'écriture (a + b)² = (a + b) × (a + b), puis on distribue chaque terme du premier facteur sur chaque terme du second facteur : a × a + a × b + b × a + b × b. Comme a × b et b × a désignent le même produit, on obtient a² + ab + ab + b², soit a² + 2ab + b² après réduction : le terme du milieu apparaît deux fois, ce qui explique le coefficient 2. Pour (a − b)², le calcul est identique mais avec des signes opposés : (a − b) × (a − b) = a² − ab − ab + b² = a² − 2ab + b². Le terme central devient négatif, mais b² reste positif, car un produit de deux nombres négatifs, (−b) × (−b), donne toujours un résultat positif. Pour (a + b)(a − b), les deux termes croisés s'annulent : a × a − a × b + b × a − b × b = a² − ab + ab − b² = a² − b². Il ne reste que la différence des deux carrés. Cette démonstration explique aussi pourquoi les identités remarquables accélèrent le calcul mental : multiplier 51 × 49 revient à calculer (50 + 1)(50 − 1), soit 50² − 1² = 2499, bien plus rapide qu'une multiplication posée. Comprendre cette origine permet de retrouver une formule oubliée le jour de l'épreuve, sans dépendre uniquement de la mémorisation.
Dans (a − b)², le résultat contient +b² et non −b² : un carré est toujours positif ou nul, quel que soit le signe de b, y compris quand b est déjà négatif. Ne confonds jamais (a − b)² avec a² − b² : (a − b)² est un carré, il contient trois termes après développement, tandis que a² − b² est déjà une différence de deux carrés, résultat du produit (a + b)(a − b). Ce sont deux identités différentes, avec deux structures de départ différentes, et confondre les deux fait perdre des points automatiques au brevet.
Factoriser consiste à repartir d'une somme algébrique — a² + 2ab + b², a² − 2ab + b² ou a² − b² — pour retrouver le produit qui lui a donné naissance. La méthode se déroule en trois temps. D'abord, vérifie que l'expression contient bien deux carrés parfaits, c'est-à-dire deux termes qui sont chacun le carré d'un nombre ou d'une expression littérale. Ensuite, observe le troisième terme s'il existe : un double produit positif signale un carré de somme, un double produit négatif signale un carré de différence, et l'absence de troisième terme signale une différence de deux carrés. Enfin, identifie a et b à partir des deux carrés repérés, puis écris directement le produit correspondant. La différence de deux carrés, a² − b², se factorise systématiquement en (a + b)(a − b) : c'est l'identité la plus utile en 3ᵉ, car elle sert ensuite à résoudre une équation produit nul, en annulant chacun des deux facteurs séparément. Une expression factorisée se prête à d'autres traitements que la forme développée ne permet pas : simplification d'une fraction, étude du signe d'une expression, ou résolution d'équation. Cette rapidité de factorisation est aussi ce qui permet de simplifier mentalement des calculs comme 102 × 98, en les réécrivant (100 + 2)(100 − 2).
Le brevet teste ta capacité à développer ou factoriser une expression littérale en identifiant la bonne identité remarquable, souvent comme étape intermédiaire pour résoudre une équation produit nul ou simplifier une expression avant de continuer un exercice plus long.
Énoncé. Développe et réduis l'expression E = (2x + 5)².
Résultat : E = 4x² + 20x + 25
Énoncé. Factorise F = 9x² − 16, puis résous l'équation F = 0.
Résultat : F = (3x + 4)(3x − 4) ; les solutions sont x = −4/3 et x = 4/3.
Énoncé. Calcule 98² sans poser la multiplication, en utilisant une identité remarquable.
Résultat : 98² = 9604
Cite la formule avant de calculer
Au brevet, écris explicitement la formule que tu utilises — (a + b)² = a² + 2ab + b², par exemple — avant de remplacer a et b par les termes de l'exercice. Cette étape rapporte des points de méthode, même si le calcul final contient une erreur.
Vérifie ton résultat par substitution numérique
Une fois ton développement ou ta factorisation terminée, remplace a et b par deux petits nombres dans l'expression de départ et dans ton résultat : si les deux valeurs numériques ne coïncident pas, une erreur s'est glissée quelque part.
Associe chaque expression à l'identité remarquable qui lui correspond, en précisant a et b.
Complète chaque formule d'identité remarquable avec le terme manquant.
Développe et réduis chaque expression à l'aide de l'identité du carré d'une somme.
Développe et réduis chaque expression à l'aide de l'identité du carré d'une différence.
Développe et réduis chaque expression à l'aide du produit d'une somme par une différence.
Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse, en corrigeant les affirmations fausses.
Factorise chaque expression à l'aide d'une identité remarquable, puis résous l'équation associée.
Rédige la justification complète de chaque calcul, en citant l'identité remarquable utilisée.
Calcule 997 × 1003 sans poser la multiplication.
Justifie que E = (x + 8)(x − 8) − x² + 70 est constante (indépendante de x), puis donne sa valeur.
Évalue tes automatismes sur les identités remarquables. Aucune calculatrice autorisée. Rédige chaque étape.
| Erreur à éviter | Pourquoi | Le bon réflexe |
|---|---|---|
| Écrire (a + b)² = a² + b², en oubliant le double produit 2ab. | Cette erreur vient d'une confusion avec la distributivité simple : on pense élever chaque terme au carré séparément, sans considérer que (a + b)² est un produit de deux facteurs identiques, qui génère quatre termes avant réduction. | Repasse systématiquement par (a + b)(a + b) mentalement, ou récite la formule complète à voix basse avant de calculer : « a carré, plus deux a b, plus b carré ». |
| Confondre (a − b)² et a² − b², ou écrire (a − b)² = a² − b². | Le résultat a² − b² ressemble visuellement à un carré de différence, mais c'est en réalité le résultat du produit (a + b)(a − b), une identité totalement différente. | Avant de développer, identifie la structure de départ : une seule parenthèse au carré donne trois termes ; deux parenthèses différentes multipliées entre elles donnent une différence de deux carrés. |
| Oublier le signe négatif du double produit dans (a − b)², ou écrire b² avec un signe négatif. | L'élève applique presque correctement la formule mais généralise trop vite le signe moins à tous les termes, alors que seul le double produit 2ab change de signe : b² reste toujours positif, car c'est un carré. | Vérifie chaque terme séparément après développement : le signe du double produit suit le signe de la différence, mais un carré isolé, b², est toujours positif ou nul. |
Les identités remarquables reposent sur trois formules fixes : ton rôle n'est pas de refaire les calculs à la place de ton ado, mais de vérifier qu'il les récite sans hésiter et qu'il sait dire à voix haute laquelle des trois s'applique à un exercice donné.
Temps conseillé : ~15 min.
Développer à la main avec la double distributivité donne le même résultat, mais prend plus de temps et multiplie les risques d'erreur de signe. Dans les exercices de calcul dits « automatismes », proposés en début d'épreuve de mathématiques au brevet, le temps est compté : connaître les identités remarquables par cœur permet de répondre en quelques secondes.
Regarde la forme de l'expression donnée au départ. Si elle contient des parenthèses élevées au carré ou multipliées entre elles, il faut développer. Si elle contient déjà une somme de plusieurs termes avec des carrés reconnaissables, il faut factoriser.
Les identités remarquables s'appliquent à toute expression littérale, avec des lettres, des nombres, ou une combinaison des deux, tant que a et b représentent chacun un terme unique. a peut très bien être 3x ou (x + 1).
Compte le nombre de termes et cherche des carrés parfaits : deux carrés seuls suggèrent une différence de carrés, deux carrés avec un terme central suggèrent un carré de somme ou de différence selon le signe du terme central. Si le doute persiste, développe (a + b)(a + b) à la main pour retrouver la formule.
Cinq formats prêts à utiliser : complète, élève, vidéoprojection, dys et noir et blanc. Gratuit, sans inscription.
Le QG