L'essentiel avec Coach Vince
Une puissance est une écriture compacte d'un produit de plusieurs facteurs identiques. Dans 5⁴, le nombre 5 est la base et le nombre 4 est l'exposant. L'écriture 5⁴ signifie 5 × 5 × 5 × 5. Son résultat est 625. Plus généralement, si n est un entier positif, aⁿ signifie que l'on multiplie n fois le nombre a par lui-même. Attention au vocabulaire : a² se lit « a au carré » et a³ se lit « a au cube ». Pour les autres exposants, lis « a puissance n ».<br><br>Ne confonds jamais une puissance avec une multiplication ordinaire. 3⁴ vaut 3 × 3 × 3 × 3, donc 81. Ce n'est ni 3 × 4, ni 3 + 3 + 3 + 3. L'exposant indique le nombre de facteurs égaux à la base, pas un nombre à multiplier par la base. Tu peux toujours revenir à cette définition : c'est ton contrôle de départ quand un calcul semble douteux.<br><br>Les parenthèses sont décisives quand la base est négative. (−2)⁴ = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16. Il y a un nombre pair de facteurs négatifs, donc le résultat est positif. En revanche, (−2)³ = −8, car il y a un nombre impair de facteurs négatifs. Sans parenthèses, −2² signifie −(2²), donc −4 : le carré porte seulement sur 2. Écris la base entre parenthèses dès qu'elle est négative ; tu rends ton raisonnement lisible et tu évites une erreur classique.<br><br>Deux exposants particuliers doivent devenir des automatismes. Pour tout nombre a, a¹ = a : il n'y a qu'un seul facteur. Pour tout nombre a non nul, a⁰ = 1. Par exemple, 7⁰ = 1 et (−4)⁰ = 1. Le cas 0⁰ n'est pas utilisé dans les calculs de ce niveau : ne lui attribue pas de valeur. En revanche, si n est un entier positif, 0ⁿ = 0. Distingue donc soigneusement 0⁵, qui vaut 0, de 5⁰, qui vaut 1.
| Écriture | Développement ou sens | Valeur |
|---|---|---|
| 2⁵ | 2 × 2 × 2 × 2 × 2 | 32 |
| (−3)² | (−3) × (−3) | 9 |
| (−3)³ | (−3) × (−3) × (−3) | −27 |
| 10⁴ | 1 suivi de 4 zéros | 10 000 |
| 10⁻² | 1 ÷ 10² | 0,01 |
| 6⁰ | Puissance d'exposant nul, base non nulle | 1 |
Si a est un nombre non nul et si n est un entier positif, a⁻ⁿ est l'inverse de aⁿ : a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ. Ainsi, 2⁻³ = 1 ÷ 2³ = 1 ÷ 8 = 0,125. De même, 10⁻⁴ = 1 ÷ 10⁴ = 0,0001. Le signe « − » placé dans l'exposant ne rend pas automatiquement le résultat négatif : il indique que l'on prend l'inverse. Par exemple, (−2)⁻² = 1 ÷ (−2)² = 1 ÷ 4. Le résultat est positif parce que le carré de −2 est positif.<br><br>Ne mélange pas −2⁻² et (−2)⁻². Dans −2⁻², la puissance porte sur 2 puis un signe moins est placé devant : −2⁻² = −(2⁻²) = −¼. Dans (−2)⁻², la base entière est −2 : le résultat vaut ¼. Les parenthèses donnent donc le sens exact du calcul.<br><br>Les puissances de 10 servent à écrire des nombres très grands ou très petits. Pour un entier positif n, 10ⁿ est égal à 1 suivi de n zéros. Pour un entier positif n, 10⁻ⁿ déplace la virgule de n rangs vers la gauche à partir de 1 : 10⁻³ = 0,001. Une écriture scientifique est de la forme a × 10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10 et n entier. Par exemple, 4 500 000 = 4,5 × 10⁶ et 0,00072 = 7,2 × 10⁻⁴. Vérifie toujours que le premier nombre est au moins égal à 1 et strictement inférieur à 10.
Face à une expression, commence par repérer les bases identiques et les parenthèses. N'effectue pas trop vite les puissances : les règles permettent souvent de simplifier avant de calculer. Dans A = 7⁵ ÷ 7² × 7⁻¹, les opérations de multiplication et de division se font de gauche à droite. Tu peux aussi regrouper les puissances de même base : A = 7⁵⁻²⁻¹ = 7² = 49. La ligne contenant les exposants montre la règle utilisée et protège ton résultat.<br><br>Respecte les priorités opératoires. Calcule d'abord les parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions. Dans 2 × 3² + 4, tu calcules 3² = 9, puis 2 × 9 = 18, puis 18 + 4 = 22. Dans (2 × 3)² + 4, la parenthèse donne 6, puis 6² = 36, donc le résultat est 40. Les deux expressions se ressemblent, mais elles ne donnent pas le même résultat.<br><br>Pour une puissance de 10, vérifie le déplacement de la virgule. Multiplier par 10³ revient à déplacer la virgule de trois rangs vers la droite ; multiplier par 10⁻³ revient à la déplacer de trois rangs vers la gauche. Ainsi, 6,4 × 10³ = 6 400 et 6,4 × 10⁻³ = 0,0064. Ajoute des zéros si nécessaire : ils servent à conserver la valeur du nombre.<br><br>En finale, contrôle par une vérification adaptée. Un exposant pair appliqué à une base négative doit donner un résultat positif. Une puissance de 10 avec exposant négatif doit être comprise entre 0 et 1. Un quotient de deux puissances identiques, comme 9⁶ ÷ 9⁶, doit valoir 1 puisque 9⁰ = 1. Si tu hésites sur une règle, reviens à un petit développement : 2³ × 2² devient 2 × 2 × 2 × 2 × 2. Cette habitude construit un calcul sûr, même sans calculatrice.
Tu dois réduire une expression, calculer une puissance de 10 ou justifier une règle de calcul avec des exposants entiers relatifs.
Énoncé. Calcule A = 4⁷ × 4⁻³ ÷ 4².
Résultat : A = 16.
Énoncé. Calcule B = ((−2)³)² × 2⁻².
Résultat : B = 16.
Énoncé. Écris 0,000056 sous la forme a × 10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10.
Résultat : 0,000056 = 5,6 × 10⁻⁵.
Annonce la règle
Avant chaque réduction, écris l'égalité de la règle utile avec les conditions nécessaires. Au brevet, une ligne comme « 5 est non nul, donc 5⁷ ÷ 5³ = 5⁴ » rend ton calcul justifié.
Fais un contrôle de cohérence
Observe le signe, l'ordre de grandeur et le rôle de l'exposant avant de valider. Un exposant négatif sur 10 donne un nombre inférieur à 1 : ce réflexe évite les erreurs d'étourderie.
Développe puis calcule chaque puissance.
Complète chaque égalité.
Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse.
Réduis chaque expression sous la forme d'une seule puissance, puis calcule.
Calcule en respectant les parenthèses.
Écris chaque nombre sous la forme a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10.
Analyse puis calcule en justifiant chaque transformation.
D = 7³ × 7⁻⁵ ÷ 7⁻⁴.
E = (2 × 5)⁻².
Rédige une réponse complète et vérifie la cohérence du résultat.
On considère F = 10⁵ × 10⁻⁷ ÷ 10⁻¹. Calcule F et donne son écriture décimale.
Réponds sans calculatrice et rédige les calculs demandés.
| Erreur à éviter | Pourquoi | Le bon réflexe |
|---|---|---|
| Écrire 2³ + 2⁴ = 2⁷. | La règle d'addition des exposants s'applique uniquement à un produit de puissances de même base, pas à une somme. | Calcule séparément : 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24. |
| Écrire (−3)² = −9. | Le carré porte sur toute la base −3 lorsque les parenthèses sont présentes. | Développe une fois : (−3)² = (−3) × (−3) = 9. |
| Écrire 10⁻³ = −1 000. | Le signe moins de l'exposant désigne l'inverse, pas l'opposé. | Écris 10⁻³ = 1 ÷ 10³ = 0,001. |
Un adulte peut aider à installer une méthode de vérification, sans faire les calculs à la place de l'élève.
Temps conseillé : ~15 min.
Pour une base non nulle, 5³ ÷ 5³ vaut 1. Avec la règle du quotient, cela donne 5³⁻³ = 5⁰, donc 5⁰ = 1.
Non. Tu additionnes les exposants seulement dans un produit de puissances de même base, comme 3² × 3⁵ = 3⁷.
Si la base négative est entre parenthèses, un exposant pair donne un résultat positif et un exposant impair donne un résultat négatif.
Non. Développe seulement pour comprendre ou vérifier. Dans la plupart des calculs, applique d'abord la règle adaptée pour garder une écriture courte et rigoureuse.
Cinq formats prêts à utiliser : complète, élève, vidéoprojection, dys et noir et blanc. Gratuit, sans inscription.
Le QG