Nombres et calculs en 3ᵉ : méthodes, automatismes et exercices pour le brevet

1. Construis un calcul de nombres relatifs

Un nombre relatif est un nombre précédé d’un signe positif ou négatif, ou un nombre positif dont le signe n’est pas écrit. Dans une somme, tu dois d’abord observer les signes. Deux nombres de même signe s’additionnent : (−7) + (−5) = −12, car le résultat garde le signe commun et les distances à zéro s’additionnent. Deux nombres de signes contraires se soustraient : 9 + (−14) = −5, car 14 est plus éloigné de zéro que 9. Le résultat prend alors le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro. Pour une soustraction, transforme d’abord l’écriture : soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Ainsi, 6 − (−8) devient 6 + 8, donc 14. À l’inverse, −3 − 11 devient −3 + (−11), donc −14. N’écris pas plusieurs signes sans parenthèses : les parenthèses rendent ton raisonnement lisible. Dans un produit ou un quotient de nombres relatifs, décide du signe avant de calculer les valeurs. Un nombre pair de facteurs négatifs donne un résultat positif ; un nombre impair de facteurs négatifs donne un résultat négatif. Par exemple, (−4) × (−6) est positif et vaut 24. En revanche, (−4) × 6 est négatif et vaut −24. La même règle de signes s’applique à une division lorsque le diviseur n’est pas nul. La division par zéro est impossible : une expression comme 15 ÷ 0 n’a pas de résultat. Respecte enfin les priorités : parenthèses, puissances et racines carrées, multiplications et divisions de gauche à droite, additions et soustractions de gauche à droite. Dans A = 18 − 3 × (−2)², calcule d’abord (−2)² = 4, puis 3 × 4 = 12 ; tu obtiens A = 18 − 12 = 6. Présente une ligne par étape : ton calcul devient vérifiable. Les fractions font aussi partie des automatismes numériques fréquemment mobilisés au brevet. Pour additionner ou soustraire des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur. Ainsi, 3/4 + 5/12 = 9/12 + 5/12 = 14/12 = 7/6. Pour multiplier, multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : 3/5 × 10/9 = 30/45 = 2/3. Pour diviser par une fraction non nulle, multiplie par son inverse : 4/7 ÷ 2/3 = 4/7 × 3/2 = 6/7. Simplifie une fraction lorsque le numérateur et le dénominateur possèdent un diviseur commun. Avec des nombres relatifs, un seul signe moins suffit : −3/4 = 3/(−4), mais −3/(−4) = 3/4. Vérifie toujours que le dénominateur n’est pas nul.

2. Puissances et racines : les écritures à ne pas confondre

Le signe placé devant une puissance change tout

3. Calcul littéral : réduire, développer, factoriser

Le calcul littéral utilise des lettres qui représentent des nombres. Une expression comme 4x − 3 contient un terme en x et un terme constant. Tu peux réduire seulement des termes de même nature. Ainsi, 5x − 2x + 7 − 10 = 3x − 3. En revanche, 5x + 2 ne se réduit pas : x et 2 ne sont pas de même nature. De même, 3x² + 4x ne devient pas 7x². Les puissances sont différentes, donc les termes ne sont pas semblables. Développer consiste à supprimer des parenthèses en utilisant la distributivité. Pour tous nombres a, b et c, a(b + c) = ab + ac et a(b − c) = ab − ac. Par exemple, 3(2x − 5) = 6x − 15. Avec un signe négatif, sois attentif : −4(x − 3) = −4x + 12, car −4 est multiplié par chacun des deux termes. La double distributivité s’utilise lorsqu’un produit relie deux parenthèses : (x + 2)(x − 5) = x² − 5x + 2x − 10 = x² − 3x − 10. Organise les produits avant de réduire. Factoriser est l’opération inverse : tu écris une expression sous la forme d’un produit. Dans 6x + 18, le facteur commun est 6, donc 6x + 18 = 6(x + 3). Cette forme est utile pour résoudre une équation produit ou simplifier un calcul. Tu peux aussi employer des identités remarquables, mais seulement si l’expression correspond exactement à leur forme. Pour tous nombres a et b, (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² et (a − b)(a + b) = a² − b². Par exemple, (x − 4)² = x² − 8x + 16. Le terme du milieu ne s’invente pas : il vaut toujours deux fois le produit des deux termes. Avant de remplacer une lettre par une valeur, garde les parenthèses. Si x = −2, alors 3x² signifie 3 × (−2)² = 12, tandis que (3x)² vaut 36 : ce sont deux expressions différentes.

4. Racines carrées et calculs exacts

• La racine carrée √a existe dans les nombres réels seulement lorsque a est positif ou nul. Ainsi √0 = 0, √64 = 8, mais √(−9) n’existe pas dans les nombres réels.
• Tu peux utiliser √(a × b) = √a × √b seulement si a et b sont positifs ou nuls. Par exemple, √72 = √(36 × 2) = 6√2. Cette écriture est exacte ; une valeur décimale n’est nécessaire que si la consigne le demande.
• Tu peux simplifier une fraction contenant des racines seulement après avoir vérifié les facteurs. Par exemple, √50 ÷ √2 = √(50 ÷ 2) = √25 = 5, car 50 et 2 sont positifs.
• Ne transforme pas √(a + b) en √a + √b : cette égalité est fausse en général. √(9 + 16) = √25 = 5, alors que √9 + √16 = 7.
• Pour comparer un résultat, encadre-le avec des carrés connus. Comme 7² = 49 et 8² = 64, on sait que 7 < √60 < 8. C’est un contrôle rapide et solide.

5. Arithmétique : nombres premiers, divisibilité et PGCD

L’arithmétique étudie les propriétés des nombres entiers. Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Par exemple, 13 est premier ; 15 ne l’est pas car 15 = 3 × 5. Le nombre 1 n’est pas premier : il ne possède qu’un seul diviseur positif. Pour décomposer un entier en produit de facteurs premiers, divise-le successivement par des nombres premiers. Pour 84, tu peux écrire 84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2² × 3 × 7. Une telle décomposition est utile pour chercher des diviseurs communs, simplifier une fraction ou résoudre un problème de partage. Le PGCD de deux entiers positifs est leur plus grand diviseur commun. Pour trouver PGCD(84 ; 126), décompose les deux nombres : 84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7. Garde chaque facteur commun avec le plus petit exposant : 2 × 3 × 7 = 42. Donc PGCD(84 ; 126) = 42. Tu peux aussi utiliser l’algorithme des soustractions ou des divisions successives, mais la décomposition est très lisible lorsque les nombres restent accessibles. Dans un problème de découpage, le PGCD donne souvent la plus grande longueur possible ou le plus grand nombre d’objets identiques, à condition que cette grandeur divise toutes les quantités données. Écris la conclusion avec son unité. Si deux rubans de 84 cm et 126 cm doivent être découpés en morceaux égaux les plus longs possible, la longueur recherchée est 42 cm. Les rubans donnent alors respectivement 2 morceaux et 3 morceaux. La méthode est simple : identifie les quantités entières, cherche les diviseurs communs, puis vérifie que ta réponse convient à chaque donnée. Les pourcentages et la proportionnalité sont également des outils numériques fréquents dans les sujets de brevet. Prendre t % d’une quantité revient à multiplier cette quantité par t/100. Ainsi, 15 % de 240 vaut 240 × 15/100 = 36. Une hausse de 12 % se traduit par un coefficient multiplicateur de 1,12 ; une baisse de 12 % se traduit par un coefficient de 0,88. Deux évolutions successives ne s’additionnent pas toujours : une hausse de 10 % suivie d’une baisse de 10 % correspond à 1,10 × 0,90 = 0,99, donc à une baisse globale de 1 %. Dans une situation de proportionnalité, le quotient entre les valeurs correspondantes est constant. Utilise un tableau, un coefficient de proportionnalité ou un produit en croix, puis contrôle que le résultat est cohérent avec les données.