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Mathématiques · Nombres et calcul

Résoudre un système d'équations en 3ᵉ : cours, exercices et méthode pour le brevet

★ Tombe souvent au brevet Difficulté ●●○ 18 min de lecture
Difficulté2/3
Par Damien Chapuis · mis à jour pour la session 2027
▶
Coach Vince te lit la leçon

L'essentiel avec Coach Vince

  • Un système de deux équations à deux inconnues demande de trouver un même couple de valeurs qui vérifie les deux équations.
  • La substitution remplace une inconnue par une expression équivalente ; l’élimination fait disparaître une inconnue en combinant les deux équations.
  • Tu conclus toujours par une vérification dans les deux équations : c’est le contrôle final de ton raisonnement.

Comprendre ce que cherche un système

Un système de deux équations à deux inconnues est un ensemble de deux égalités qui contiennent les mêmes inconnues, souvent notées x et y. Par exemple : x + y = 17 et 2x + y = 25. Résoudre ce système, c’est trouver les valeurs de x et de y qui rendent simultanément les deux égalités vraies. Ici, le couple (8 ; 9) convient, car 8 + 9 = 17 et 2 × 8 + 9 = 25. Attention : trouver une valeur qui vérifie une seule équation ne suffit pas. L’équation x + y = 17 possède une infinité de solutions possibles, comme (1 ; 16), (4 ; 13) ou (8 ; 9). Le système impose une contrainte supplémentaire grâce à la deuxième équation ; il permet généralement de déterminer un seul couple. On présente souvent le système avec une accolade : { x + y = 17 ; 2x + y = 25 }. Les lettres x et y sont des inconnues. Les nombres placés devant elles sont leurs coefficients. Dans 2x + y = 25, le coefficient de x est 2 et celui de y est 1. Tu dois lire soigneusement les signes : −y est différent de y, et 3x est différent de x. Un système peut modéliser une situation concrète : deux achats, deux tarifs, des longueurs ou des nombres dont on connaît la somme et une autre relation. Avant de calculer, repère toujours ce que représentent x et y. Cela t’aide à juger si le résultat final est cohérent.

Les deux méthodes à connaître

MéthodeQuand la choisirPrincipe rigoureux
SubstitutionQuand une équation permet d’isoler facilement x ou y, par exemple y = 12 − x ou x = 3y + 1.Tu remplaces une inconnue par une expression qui lui est égale dans l’autre équation. Tu obtiens alors une équation à une seule inconnue.
Élimination par combinaisonQuand les coefficients d’une inconnue sont opposés, ou peuvent le devenir facilement après multiplication d’une équation.Tu additionnes ou tu soustrais deux égalités membre à membre afin de supprimer une inconnue. Les transformations doivent conserver les solutions du système.
VérificationAprès avoir trouvé les deux valeurs, quelle que soit la méthode utilisée.Tu remplaces x et y dans chacune des deux équations de départ. Les deux égalités doivent être exactes.

La substitution : un plan de jeu en cinq étapes

  • 1. Isole une inconnue dans l’équation la plus simple. Dans le système { x + y = 17 ; 2x + y = 25 }, la première donne y = 17 − x. Soustraire x aux deux membres est autorisé, car tu effectues la même opération des deux côtés de l’égalité.
  • 2. Remplace cette inconnue dans l’autre équation. Comme y = 17 − x, l’équation 2x + y = 25 devient 2x + (17 − x) = 25. Les parenthèses sont indispensables : elles montrent que toute l’expression 17 − x remplace y.
  • 3. Résous l’équation obtenue : 2x + 17 − x = 25, donc x + 17 = 25, puis x = 8. Réduis les termes semblables avec méthode : 2x − x = x.
  • 4. Calcule la seconde inconnue à l’aide de l’expression isolée. Ici, y = 17 − 8, donc y = 9. Tu peux aussi utiliser l’une des équations de départ, mais l’expression déjà obtenue est souvent plus rapide.
  • 5. Vérifie dans le système de départ : 8 + 9 = 17 et 2 × 8 + 9 = 25. Les deux lignes sont vraies ; la solution est donc (8 ; 9). Rédige la conclusion clairement : « Le système a pour solution le couple (8 ; 9). »
  • La substitution reste valable si tu isoles x ou y dans l’une ou l’autre équation. Choisis simplement la voie qui évite les fractions et les calculs inutiles. Par exemple, si une ligne est 3x − y = 4, tu peux écrire y = 3x − 4. Ne change jamais un signe sans justifier l’opération : passer −y de l’autre côté revient à ajouter y aux deux membres.

L’élimination : supprimer une inconnue sans perdre de solution

La méthode par élimination s’applique lorsque tu peux rendre les coefficients d’une inconnue opposés, puis additionner les deux équations membre à membre. Considère { 3x + 2y = 16 ; 5x − 2y = 24 }. Les coefficients de y sont 2 et −2 : ils sont opposés. En additionnant, tu obtiens 3x + 2y + 5x − 2y = 16 + 24, donc 8x = 40 et x = 5. Remplace ensuite x par 5 dans une équation de départ : 3 × 5 + 2y = 16, donc 15 + 2y = 16, puis 2y = 1 et y = ½. Vérifie : 3 × 5 + 2 × ½ = 16 et 5 × 5 − 2 × ½ = 24. Si les coefficients ne sont pas directement opposés, tu peux multiplier une équation entière par un même nombre non nul. Cette multiplication concerne tous les termes, y compris le second membre. Par exemple, pour éliminer y dans { x + 2y = 7 ; 3x + y = 9 }, multiplie la deuxième équation par −2 avant d’additionner.

Bien rédiger une élimination avec multiplication

Prenons le système { x + 2y = 7 ; 3x + y = 9 }. Les coefficients de y sont 2 et 1. Ils ne s’annulent pas si tu additionnes directement les deux équations. Tu choisis donc de multiplier la deuxième équation par −2. Comme une égalité reste vraie lorsqu’on multiplie ses deux membres par un même nombre non nul, 3x + y = 9 devient −6x − 2y = −18. Tu écris alors le système équivalent { x + 2y = 7 ; −6x − 2y = −18 }. Additionne les deux lignes : x + 2y − 6x − 2y = 7 − 18. Les termes en y s’annulent, d’où −5x = −11 et x = 11÷5. Cette valeur est correcte, même si elle n’est pas entière. Remplace-la dans 3x + y = 9 : 3 × 11÷5 + y = 9, donc 33÷5 + y = 45÷5, puis y = 12÷5. La solution est (11÷5 ; 12÷5). Ne cherche pas à obtenir à tout prix des entiers : un système peut avoir des solutions décimales ou fractionnaires. En revanche, un calcul avec une fraction exige de garder une écriture exacte tant que possible. Évite de passer trop tôt à une valeur approchée, car cela peut créer une erreur dans la vérification. Dans ta rédaction, indique l’équation que tu multiplies et le nombre utilisé. Le correcteur doit pouvoir suivre ton choix, pas seulement lire le résultat.

Les cas particuliers : aucune solution ou une infinité

Un système n’a pas toujours une unique solution. Si les deux équations représentent exactement la même relation, tous les couples qui vérifient l’une vérifient l’autre : il y a une infinité de solutions. Par exemple, { x + y = 5 ; 2x + 2y = 10 }. La seconde équation est obtenue en multipliant toute la première par 2. En éliminant, tu arrives à 0 = 0 : cette égalité toujours vraie signale une infinité de solutions. À l’inverse, le système { x + y = 5 ; 2x + 2y = 12 } n’a aucune solution. Si tu multiplies la première équation par −2 et que tu l’additionnes à la seconde, tu obtiens 0 = 2, une égalité impossible. Dans une situation concrète, cela signifie que les informations données sont incompatibles. Ne divise jamais une égalité par une expression contenant une inconnue sans avoir vérifié qu’elle n’est pas nulle : tu pourrais supprimer des solutions. À ton niveau, privilégie la substitution ou l’élimination, puis interprète avec précision le résultat obtenu.

Au brevet, on te demande…

Tu dois résoudre un système en présentant des transformations d’égalité justes, puis interpréter les valeurs trouvées dans une situation ou vérifier le couple obtenu.

Type de question
Calcul à justifier, problème modélisé par un système, analyse d’une méthode de résolution ou question courte d’automatismes.
Exemple type
Dans une papeterie, 2 cahiers et 3 stylos coûtent 11 €, tandis qu’un cahier et 2 stylos coûtent 7 €. Détermine le prix d’un cahier et celui d’un stylo.
Alerte piège au brevet
Oublier de multiplier le second membre lorsqu’on prépare l’élimination, ou conclure sans contrôler le couple dans les deux équations initiales.

Exemples résolus

Résoudre par substitution

Énoncé. Résous le système { x + y = 14 ; 3x − y = 6 }.

  1. Isole y dans la première équation : y = 14 − x.
  2. Remplace y dans la deuxième équation : 3x − (14 − x) = 6.
  3. Développe et résous : 3x − 14 + x = 6, donc 4x = 20, puis x = 5.
  4. Calcule y : y = 14 − 5 = 9.
  5. Vérifie : 5 + 9 = 14 et 3 × 5 − 9 = 6.

Résultat : Le système a pour solution le couple (5 ; 9).

Résoudre par élimination

Énoncé. Résous le système { 2x + 3y = 19 ; 2x − 3y = 5 }.

  1. Les coefficients de y sont opposés : 3 et −3. Additionne les deux équations.
  2. Tu obtiens 4x = 24, donc x = 6.
  3. Remplace x par 6 dans 2x − 3y = 5 : 12 − 3y = 5.
  4. Soustrais 12 aux deux membres : −3y = −7, donc y = 7÷3.
  5. Vérifie dans la première équation : 2 × 6 + 3 × 7÷3 = 12 + 7 = 19.

Résultat : Le système a pour solution le couple (6 ; 7÷3).

Interpréter un système sans solution

Énoncé. Étudie le système { 4x + 2y = 10 ; 2x + y = 8 }.

  1. Multiplie la deuxième équation par −2 : −4x − 2y = −16.
  2. Additionne cette équation à la première : 0 = −6.
  3. Cette égalité est impossible.

Résultat : Le système n’a aucune solution.

Annonce ta méthode

Avant les calculs, écris l’égalité que tu isoles ou l’équation que tu multiplies. Une démarche lisible vaut mieux qu’une suite de lignes sans lien.

Garde la vérification pour la finale

Vérifie le couple dans les deux équations de départ, jamais seulement dans l’équation transformée. Tu prouves ainsi que ton résultat répond bien au système complet.

Ta séance d'entraînement

1

Repère le bon couple

★☆☆

Indique si le couple proposé est solution du système.

  1. Le couple (3 ; 4) est-il solution de { x + y = 7 ; 2x − y = 2 } ?
  2. Le couple (2 ; 5) est-il solution de { x + y = 7 ; 2x − y = 2 } ?
Voir le corrigé
  1. Oui. Explication : 3 + 4 = 7 et 2 × 3 − 4 = 2.
  2. Non. Explication : 2 + 5 = 7, mais 2 × 2 − 5 = −1 et non 2.
2

Prépare la substitution

★☆☆

Isole l’inconnue demandée.

  1. Dans 4x + y = 13, exprime y en fonction de x.
  2. Dans 3x − 2y = 8, exprime x en fonction de y.
Voir le corrigé
  1. y = 13 − 4x. Explication : Tu soustrais 4x aux deux membres.
  2. x = (8 + 2y) ÷ 3. Explication : Tu ajoutes 2y aux deux membres puis tu divises par 3.
3

Résous sans détour

★☆☆

Résous chaque système par substitution.

  1. { x = y + 2 ; x + y = 10 }
  2. { y = 2x − 1 ; x + y = 8 }
Voir le corrigé
  1. x = 6 et y = 4 ; le système a pour solution (6 ; 4). Explication : En remplaçant x par y + 2, on obtient 2y + 2 = 10.
  2. x = 3 et y = 5 ; le système a pour solution (3 ; 5). Explication : En remplaçant y par 2x − 1, on obtient 3x − 1 = 8.
4

Fais disparaître une inconnue

★★☆

Résous chaque système par élimination.

  1. { x + 3y = 13 ; x − 3y = 1 }
  2. { 4x + y = 17 ; 2x − y = 1 }
Voir le corrigé
  1. En additionnant, 2x = 14 donc x = 7. Puis 7 − 3y = 1, donc y = 2. Solution : (7 ; 2). Explication : Les termes 3y et −3y s’annulent.
  2. En additionnant, 6x = 18 donc x = 3. Puis 2 × 3 − y = 1, donc y = 5. Solution : (3 ; 5). Explication : Les termes y et −y s’annulent.
5

Choisis la méthode efficace

★★☆

Associe chaque système à la méthode la plus directe.

  1. { y = 5 − x ; 3x + 2y = 9 }
  2. { 5x + 2y = 18 ; 3x − 2y = 6 }
  3. { x + 4y = 12 ; 2x − 3y = 1 }
Voir le corrigé
  1. Substitution. Explication : y est déjà isolé.
  2. Élimination. Explication : Les coefficients de y sont opposés.
  3. Substitution ou élimination après multiplication ; la substitution est souvent la plus courte en isolant x = 12 − 4y. Explication : Aucun coefficient n’est directement opposé.
6

Traduis une situation

★★☆

Résous le problème en posant un système.

Deux sandwiches et un jus coûtent 11 €. Un sandwich et deux jus coûtent 10 €. Détermine le prix d’un sandwich et celui d’un jus.

Voir le corrigé
  1. On note x le prix d’un sandwich et y le prix d’un jus. Le système est { 2x + y = 11 ; x + 2y = 10 }. En multipliant la deuxième équation par −2, on obtient −2x − 4y = −20. En ajoutant, −3y = −9, donc y = 3. Puis 2x + 3 = 11, donc x = 4. Un sandwich coûte 4 € et un jus coûte 3 €. Explication : Les inconnues doivent être définies avant la mise en équations.
7

Analyse le nombre de solutions

★★★

Détermine le nombre de solutions de chaque système et justifie.

{ 2x − y = 4 ; 4x − 2y = 8 }

{ 2x − y = 4 ; 4x − 2y = 10 }

Voir le corrigé
  1. La deuxième équation est obtenue en multipliant tous les membres de la première par 2. Les deux équations sont équivalentes, donc le système possède une infinité de solutions. Explication : Les deux lignes imposent la même relation.
  2. En multipliant la première équation par −2, on obtient −4x + 2y = −8. En ajoutant à la deuxième, on trouve 0 = 2, ce qui est impossible. Le système n’a aucune solution. Explication : Les deux relations sont incompatibles.
8

Rédige une résolution complète

★★★

Résous le système par la méthode de ton choix et rédige toutes les étapes utiles.

{ 3x + 2y = 18 ; x − 2y = 2 }

Voir le corrigé
  1. Les coefficients de y sont opposés. En additionnant les deux équations, 4x = 20, donc x = 5. En remplaçant x par 5 dans x − 2y = 2, on obtient 5 − 2y = 2, donc −2y = −3 et y = 3÷2. Vérification : 3 × 5 + 2 × 3÷2 = 18 et 5 − 2 × 3÷2 = 2. Le système a pour solution (5 ; 3÷2). Explication : Une réponse complète présente le calcul, la vérification et la conclusion.

Évaluation

Résous avec rigueur. Indique ta méthode lorsque cela est utile et vérifie tout couple solution. Barème : 20 points

  1. Le couple (4 ; 3) est-il solution de { x + y = 7 ; 2x + y = 11 } ? Justifie./ 3
  2. Résous par substitution : { y = 9 − x ; 2x + y = 13 }./ 3
  3. Résous par élimination : { 3x + y = 16 ; 2x − y = 4 }./ 4
  4. Résous : { x + 2y = 1 ; 3x − 2y = 15 }./ 3
  5. Détermine le nombre de solutions de { x − y = 3 ; 2x − 2y = 6 }./ 3
  6. Un adulte et trois enfants paient 18 €. Deux adultes et un enfant paient 19 €. Détermine les deux tarifs./ 4
Voir le corrigé de l'évaluation
  1. Oui, car 4 + 3 = 7 et 2 × 4 + 3 = 11. (3 pts)
  2. 2x + 9 − x = 13, donc x = 4. Alors y = 9 − 4 = 5. Solution : (4 ; 5). (3 pts)
  3. En additionnant, 5x = 20 donc x = 4. Puis 2 × 4 − y = 4, donc y = 4. Solution : (4 ; 4). (4 pts)
  4. En additionnant, 4x = 16 donc x = 4. Puis 4 + 2y = 1, donc 2y = −3 et y = −3÷2. Solution : (4 ; −3÷2). (3 pts)
  5. Une infinité de solutions, car la deuxième équation est le double de la première. (3 pts)
  6. On note x le tarif adulte et y le tarif enfant. { x + 3y = 18 ; 2x + y = 19 }. En multipliant la première équation par −2 : −2x − 6y = −36. En ajoutant, −5y = −17, donc y = 17÷5. Puis 2x + 17÷5 = 19, donc 2x = 78÷5 et x = 39÷5. Le tarif adulte est 39÷5 € et le tarif enfant est 17÷5 €. (4 pts)

Erreurs fréquentes

Erreur à éviterPourquoiLe bon réflexe
Remplacer y par 17 − x sans parenthèses dans 2x + y = 25 et écrire 2x + 17 − x sans avoir indiqué le remplacement.Le calcul peut rester juste ici, mais l’absence de parenthèses provoque souvent une erreur dès qu’un signe − précède l’inconnue remplacée.Écris d’abord 2x + (17 − x) = 25, puis développe seulement ensuite.
Multiplier seulement le premier membre d’une équation pour préparer une élimination.Une égalité n’est conservée que si la même opération est effectuée sur ses deux membres.Si tu multiplies 3x + y = 9 par −2, écris entièrement −6x − 2y = −18.
Donner x = 5 et y = 9 sans vérification.Une erreur de signe ou de calcul peut avoir produit un couple qui ne satisfait pas les deux équations.Remplace systématiquement x et y dans les deux équations initiales avant de conclure.

Guide pour les parents

Laissez votre enfant choisir d’abord la méthode qu’il juge la plus efficace, puis demandez-lui de justifier ce choix à voix haute.

  • Faites-lui relire chaque transformation d’égalité : une opération doit concerner les deux membres, et une multiplication doit concerner tous les termes.
  • Demandez une vérification finale dans les deux équations initiales plutôt que de donner immédiatement une réponse ou une correction.

Temps conseillé : ~20 min.

Questions fréquentes

Comment choisir entre substitution et élimination ?

Choisis la substitution si une inconnue s’isole facilement. Choisis l’élimination si des coefficients sont opposés ou deviennent opposés après une multiplication simple.

Puis-je utiliser une valeur décimale dans un système ?

Oui, mais conserve une fraction si elle donne une écriture exacte et si aucun arrondi n’est demandé. Cela rend la vérification plus fiable.

Pourquoi faut-il vérifier les deux équations ?

Une solution de système doit satisfaire les deux égalités simultanément. Une seule vérification ne suffit donc pas.

Que signifie le résultat 0 = 0 pendant une élimination ?

Cette égalité toujours vraie indique que les deux équations expriment la même relation. Le système possède alors une infinité de solutions.

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