Reconnaître un nombre premier en 3ᵉ : méthode, exercices et brevet

Le vocabulaire à maîtriser

Un diviseur d’un entier positif est un entier qui le partage sans reste. Dire que 7 divise 42 signifie que 42 ÷ 7 est un entier, ici 6. On peut aussi écrire 42 = 7 × 6. Les diviseurs positifs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Comme 12 possède plus de deux diviseurs positifs, il n’est pas premier. Un nombre premier est un entier positif supérieur à 1 qui possède exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même. Par exemple, 13 est premier car ses seuls diviseurs positifs sont 1 et 13. Un nombre composé est un entier positif supérieur à 1 qui n’est pas premier : il possède alors au moins un diviseur positif autre que 1 et lui-même. Ainsi, 15 est composé car 15 = 3 × 5. Ne confonds pas « premier » avec « impair ». Certains nombres impairs sont composés, comme 9, 15, 21 ou 49. Le nombre 2 est le seul nombre premier pair. Tout autre nombre pair est divisible par 2 et possède donc au moins les diviseurs 1, 2 et lui-même. Enfin, 1 n’est pas premier : il n’a qu’un seul diviseur positif, lui-même. Il n’est pas composé non plus. C’est un cas à connaître parfaitement avant la finale.

Classer les cas sans hésiter

Pourquoi la racine carrée suffit

Pour savoir si un grand entier est premier, tu ne dois pas essayer tous les diviseurs jusqu’au nombre lui-même. La méthode repose sur une idée précise. Si un entier n est composé, il peut s’écrire n = a × b, avec a et b entiers supérieurs à 1. Dans ce produit, au moins un des deux facteurs est inférieur ou égal à √n. En effet, si a et b étaient tous les deux strictement supérieurs à √n, alors leur produit serait strictement supérieur à n, ce qui est impossible. Donc, si n est composé, il possède obligatoirement un diviseur premier inférieur ou égal à √n. Voilà la règle complète : pour un entier positif n supérieur à 1, il suffit de tester la divisibilité par les nombres premiers inférieurs ou égaux à √n. La condition « nombres premiers » est importante : inutile de tester 4 si tu as déjà testé 2, inutile de tester 9 si tu as déjà testé 3, et ainsi de suite. Pour 137, on cherche un encadrement de sa racine : 11² = 121 et 12² = 144, donc √137 est compris entre 11 et 12. Les nombres premiers inférieurs ou égaux à √137 sont donc 2, 3, 5, 7 et 11. Il n’y en a pas d’autre à tester. Cette limite te fait gagner du temps, mais elle ne remplace jamais les essais de division : tu dois les écrire ou les justifier clairement.

Le plan de jeu pour tester un nombre

• Vérifie d’abord que le nombre est entier positif et supérieur à 1. Sinon, il n’entre pas dans la définition d’un nombre premier.
• Écarte immédiatement les cas simples : 2 est premier ; tout entier pair supérieur à 2 n’est pas premier.
• Encadre la racine carrée avec deux carrés parfaits consécutifs ou utilise une valeur de racine carrée connue.
• Liste uniquement les nombres premiers inférieurs ou égaux à cette racine carrée : 2, 3, 5, 7, 11, 13, puis les suivants si nécessaire.
• Teste la divisibilité par chacun d’eux. Tu peux utiliser les critères de divisibilité ou encadrer le nombre entre deux multiples consécutifs.
• Trouve un diviseur non trivial ? Arrête : le nombre est composé. Ne trouve aucun diviseur dans la liste ? Conclus qu’il est premier.

Les critères utiles, avec leur domaine de validité

Rédiger une conclusion rigoureuse

Au brevet, une réponse comme « 167 est premier car je ne trouve pas de diviseur » ne suffit pas. Tu dois annoncer la borne de recherche puis montrer tous les essais nécessaires. Étudions 167. On a 12² = 144 et 13² = 169, donc √167 < 13. Il suffit de tester les nombres premiers 2, 3, 5, 7 et 11. Le nombre 167 n’est pas divisible par 2 car il est impair. La somme de ses chiffres vaut 1 + 6 + 7 = 14, qui n’est pas divisible par 3 : 167 n’est donc pas divisible par 3. Il ne se termine ni par 0 ni par 5 : il n’est pas divisible par 5. Pour 7, encadre entre deux multiples consécutifs : 7 × 23 = 161 et 7 × 24 = 168 ; donc 161 < 167 < 168, et 167 n’est pas divisible par 7. Pour 11 : 11 × 15 = 165 et 11 × 16 = 176 ; donc 165 < 167 < 176, et 167 n’est pas divisible par 11. Aucun nombre premier inférieur ou égal à √167 ne divise 167. Donc 167 est premier. Observe la logique : un calcul comme 7 × 23 = 161, seul, ne prouve rien. Il faut montrer que le nombre étudié se situe entre deux multiples consécutifs, ou effectuer une division qui laisse un reste. Pour finir, distingue bien deux tâches. Dire qu’un nombre est premier consiste à prouver l’absence de diviseur dans la liste nécessaire. Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers consiste à le factoriser entièrement. Si tu trouves, par exemple, 91 = 7 × 13, tu as prouvé que 91 n’est pas premier et tu as déjà obtenu sa décomposition en facteurs premiers. Méthode nette, rédaction nette : c’est ton record perso de rigueur.

Nombres relatifs : les règles de signes à automatiser

Les nombres relatifs font partie des automatismes à maîtriser. Pour additionner deux nombres de même signe, tu additionnes leurs distances à zéro et tu conserves le signe commun : (−7) + (−5) = −12. Pour additionner deux nombres de signes contraires, tu soustrais les distances à zéro et tu conserves le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro : (−9) + 4 = −5 et 9 + (−4) = 5. Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé : 6 − (−3) = 6 + 3 = 9. Attention aux parenthèses : elles indiquent le signe du nombre. Pour un produit ou un quotient, les signes identiques donnent un résultat positif et les signes différents donnent un résultat négatif. Ainsi, (−4) × (−6) = 24, (−4) × 6 = −24, et (−18) ÷ (−3) = 6. Avant de calculer, repère les priorités : parenthèses, puissances, multiplications et divisions, puis additions et soustractions. Ne transforme pas −3² en 9 : sans parenthèses, −3² = −(3²) = −9, tandis que (−3)² = 9. Cette distinction tombe souvent dans les automatismes du brevet.

Puissances et écriture scientifique

Une puissance est une écriture abrégée d’un produit de facteurs identiques. Par exemple, 5³ = 5 × 5 × 5 = 125. Les puissances de 10 sont particulièrement utiles : 10⁴ = 10 000 et 10⁻³ = 0,001. Pour des puissances de même base, aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ et aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ lorsque a est non nul. De plus, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. En revanche, aᵐ + aⁿ ne se simplifie pas en aᵐ⁺ⁿ : l’addition n’obéit pas à cette règle. L’écriture scientifique d’un nombre est de la forme a × 10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10 et n entier. Par exemple, 4 500 000 = 4,5 × 10⁶ et 0,00072 = 7,2 × 10⁻⁴. Au brevet, vérifie toujours le premier facteur : 45 × 10⁵ n’est pas une écriture scientifique car 45 n’est pas compris entre 1 et 10.

Calcul littéral : développer, réduire et factoriser

Le calcul littéral permet d’écrire des calculs avec des lettres. Réduire une expression consiste à regrouper les termes semblables : 3x − 5 + 2x + 7 = 5x + 2. Développer consiste à supprimer des parenthèses grâce à la distributivité : 4(x − 3) = 4x − 12. Avec deux parenthèses, tu distribues chaque terme : (x + 2)(x + 5) = x² + 7x + 10. Fais particulièrement attention à un signe moins devant une parenthèse : −(x − 4) = −x + 4. Factoriser est l’opération inverse : 6x + 18 = 6(x + 3). Une expression factorisée est très utile pour résoudre une équation-produit ou pour montrer qu’une quantité est divisible par un nombre. Par exemple, 15n + 30 = 15(n + 2), donc cette expression est toujours divisible par 15 lorsque n est entier. Vérifie ton travail en remplaçant la lettre par un nombre simple : c’est un contrôle rapide et efficace.

Racines carrées : calculer, simplifier et interpréter

La racine carrée √a est définie pour a positif ou nul : c’est le nombre positif dont le carré vaut a. Ainsi √49 = 7, car 7² = 49. En revanche, √(−9) n’existe pas dans les nombres étudiés au collège. Attention : √(a²) = |a|. Par exemple, √((−6)²) = 6 et non −6, car une racine carrée est toujours positive ou nulle. Tu dois connaître les racines carrées des carrés parfaits usuels : √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7, √64 = 8, √81 = 9 et √100 = 10. On peut aussi simplifier certaines racines : √72 = √(36 × 2) = 6√2. Cette écriture est exacte ; elle ne remplace pas une valeur approchée. Les racines carrées interviennent dans le théorème de Pythagore et dans les calculs d’aires. Garde donc les deux réflexes : reconnaître un carré parfait et extraire le plus grand carré parfait possible.

PGCD et arithmétique : partager sans reste

Le PGCD de deux entiers positifs est leur plus grand diviseur commun. Il sert notamment à simplifier une fraction ou à réaliser des partages en lots identiques les plus grands possibles. Pour trouver PGCD(84 ; 126), tu peux utiliser les décompositions en facteurs premiers : 84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7. Les facteurs communs sont 2, 3 et 7 ; donc PGCD(84 ; 126) = 2 × 3 × 7 = 42. La fraction 84/126 se simplifie alors en 2/3 en divisant le numérateur et le dénominateur par 42. Tu peux aussi utiliser l’algorithme d’Euclide : 126 = 84 + 42, puis 84 = 2 × 42 ; le dernier reste non nul est 42. Ne confonds pas PGCD et PPCM : au collège, le PGCD correspond au plus grand facteur commun. Dans un problème de lots, il faut vérifier que le nombre de lots et le contenu de chaque lot sont entiers. Comme pour les nombres premiers, une rédaction courte doit indiquer les calculs qui justifient le résultat.