Les nombres relatifs en 3ᵉ

Additionner et soustraire

Un nombre relatif possède un signe (+ ou −). Pour additionner deux relatifs de même signe, on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun. De signes contraires, on soustrait et on garde le signe du plus éloigné de zéro.

Multiplier et diviser

La règle des signes : deux nombres de même signe donnent un résultat positif, deux nombres de signes contraires un résultat négatif.

Repérer et comparer des nombres relatifs

Sur une droite graduée, les positifs sont à droite de zéro et les négatifs à gauche. Le plus grand de deux relatifs est le plus à droite : un positif est donc toujours plus grand qu’un négatif.

La distance à zéro d’un relatif s’obtient en lui retirant son signe : (−5) et 5 sont tous deux à 5 unités de zéro. Ces deux nombres sont des opposés : ils sont symétriques par rapport à zéro et leur somme vaut 0.

Pour comparer deux négatifs, retiens que le plus grand a la plus petite distance à zéro : −2 > −7.

Transformer une soustraction en addition

Toute soustraction se transforme en addition : tu remplaces le nombre retiré par son opposé, ce qui donne a − b = a + (−b).

Par exemple, 4 − (−6) = 4 + 6 = 10, car l’opposé de (−6) est 6.

De même, (−3) − 8 = (−3) + (−8) = −11 : tu additionnes 3 et 8, puis tu gardes le signe moins.

Le signe d’un produit et les puissances d’un négatif

Dans un produit de facteurs non nuls, compte les facteurs négatifs : s’ils sont en nombre pair, le résultat est positif, sinon il est négatif. Ainsi (−2) × 3 × (−5) = 30, avec deux facteurs négatifs.

Une puissance d’un négatif étant un produit de facteurs égaux, son signe dépend de l’exposant : positif s’il est pair, négatif s’il est impair. Par exemple, (−2)³ = −8 et (−2)⁴ = 16. Attention, (−2)² = 4 mais −2² = −4, car sans parenthèses le carré porte seulement sur 2. Pour revoir ces notations, reprends le cours sur les puissances en 3ᵉ.

Les erreurs fréquentes

• Écrire un négatif sans parenthèses : le carré de (−3) se note (−3)² et vaut 9, alors que −3² vaut −9.
• Utiliser la règle des signes de la multiplication pour une addition : (−4) + (−5) vaut −9, et non 9.
• Mélanger l’opposé et l’inverse : l’opposé de 4 est (−4) et son inverse est 1/4, car 4 × 1/4 = 1.

Calculs corrigés

Des calculs de ce type se font sans calculatrice dans la partie automatismes de l’épreuve de maths du brevet. Ils servent aussi en calcul littéral, par exemple pour développer et factoriser une expression.

• (−7) + 4 = −3, car (−7) est plus éloigné de zéro que 4.
• (−5) − (−9) = (−5) + 9 = 4.
• (−3) × (−2) × (−4) = −24, car il y a trois facteurs négatifs.
• (−3)² + (−2)³ = 9 + (−8) = 1.