Réviser nombres et calcul en 3ᵉ : méthodes et exercices pour le brevet

Construis un calcul fiable

Les automatismes de nombres et calcul servent dans presque tous les exercices du brevet. Ton premier réflexe est de repérer la nature du calcul : calcul numérique, expression littérale, racine carrée ou problème d'arithmétique. Ne mélange pas les règles. Dans une expression numérique, tu respectes les priorités : d'abord les parenthèses, puis les puissances et les racines carrées, ensuite les multiplications et les divisions, enfin les additions et les soustractions. À l'intérieur d'un même niveau de priorité, tu calcules de gauche à droite. Ainsi, dans 18 − 3 × 4, tu effectues d'abord 3 × 4, donc tu obtiens 18 − 12 = 6. En revanche, dans (18 − 3) × 4, les parenthèses imposent 15 × 4 = 60. Ces réflexes rapportent des points dès le début de l'épreuve : dans le sujet de maths du brevet 2026, la première partie comptait neuf questions d'automatismes, sans calculatrice ni justification, notées sur 6 points.

Avec les nombres relatifs, un signe fait partie du nombre. Pour additionner deux nombres de même signe, tu additionnes leurs distances à zéro et tu conserves le signe commun : −7 + (−5) = −12. Pour additionner deux nombres de signes contraires, tu soustrais les distances à zéro et tu gardes le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro : −11 + 6 = −5. Dans une soustraction, transforme si besoin le calcul en addition de l'opposé : 8 − (−3) = 8 + 3 = 11. Pour un produit ou un quotient, détermine le signe avant de calculer les valeurs : deux signes identiques donnent un résultat positif ; deux signes différents donnent un résultat négatif. Cette règle est valable pour un produit ou un quotient de nombres relatifs non nuls. Une division par zéro est impossible.

Garde des lignes de calcul aérées. Un égal doit toujours relier deux expressions de même valeur. N'écris jamais une suite d'opérations différentes sur une seule ligne après un unique égal : tu ne pourrais plus vérifier ton raisonnement. Ton plan de jeu est simple : une transformation justifiée, puis une nouvelle ligne.

Puissances, racines carrées et écritures à connaître

Passe du calcul littéral au résultat juste

• Une expression littérale contient des lettres qui représentent des nombres. Dans 5x − 3, la lettre x peut prendre différentes valeurs. Pour calculer une valeur, remplace la lettre par le nombre donné en utilisant des parenthèses, surtout si ce nombre est négatif. Si x = −2, alors 5x − 3 = 5 × (−2) − 3 = −10 − 3 = −13.
• Réduire une expression consiste à regrouper seulement les termes semblables. Les termes 4x et −7x sont semblables : 4x − 7x = −3x. En revanche, 4x et 4x² ne sont pas semblables : l'un contient x et l'autre x². Tu ne peux pas les additionner.
• Développer consiste à supprimer des parenthèses grâce à la distributivité. Pour tous nombres a, b et c, a(b + c) = ab + ac et a(b − c) = ab − ac. Ainsi, −3(2x − 5) = −6x + 15. Le signe négatif doit être distribué aux deux termes : c'est un point de vigilance classique.
• Factoriser consiste à écrire une expression sous la forme d'un produit. Tu cherches un facteur commun. Dans 12x + 18, 6 est un facteur commun : 12x + 18 = 6(2x + 3). Dans 5x² − 15x, le facteur commun le plus utile est 5x : 5x² − 15x = 5x(x − 3).
• Les identités remarquables ne s'emploient que lorsqu'une expression a exactement la bonne forme. Pour tous nombres a et b, (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b². Par exemple, (x + 4)² = x² + 8x + 16. Le terme du milieu vaut 2 × x × 4, pas x + 4.
• Pour résoudre une équation du premier degré, tu cherches la valeur qui rend l'égalité vraie. Tu peux ajouter, soustraire, multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul. Dans 4x − 7 = 13, ajoute 7 aux deux membres : 4x = 20. Puis divise les deux membres par 4 : x = 5. Termine en vérifiant : 4 × 5 − 7 = 13.

Fractions et racines : ne raccourcis pas les règles

Utilise l'arithmétique pour organiser un problème

L'arithmétique étudie notamment les multiples, les diviseurs et les nombres premiers. Un nombre premier est un entier positif qui possède exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même. Par exemple, 29 est premier, car aucun nombre premier inférieur ou égal à √29 ne le divise. Le nombre 1 n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur positif. Pour décomposer un entier en produit de facteurs premiers, divise-le successivement par des nombres premiers. Tu peux écrire 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7. Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près.

Le PGCD de deux entiers positifs est leur plus grand diviseur commun. Il permet souvent de simplifier une fraction ou de former le plus grand nombre possible de groupes identiques. Pour calculer le PGCD de 84 et 126, utilise leurs décompositions : 84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7. Les facteurs communs avec les plus petits exposants sont 2, 3 et 7. Donc PGCD(84 ; 126) = 2 × 3 × 7 = 42. La fraction 84⁄126 se simplifie alors par 42 : 84⁄126 = 2⁄3.

Dans un problème, interprète le résultat. Si l'on répartit 84 objets d'une sorte et 126 d'une autre dans des paquets identiques sans reste, le nombre maximal de paquets est 42. Chaque paquet contient alors 2 objets de la première sorte et 3 de la seconde. Le PGCD répond au mot « maximal » et à l'idée de répartition sans reste. Si le problème demande au contraire le premier moment où deux événements périodiques se produisent ensemble, tu cherches un multiple commun, souvent le plus petit. Lis avant de calculer : la bonne opération dépend du sens de la question.

Pour finir ta série, contrôle ton résultat. Une racine carrée doit être positive ou nulle. Un quotient de deux nombres de même signe doit être positif. Une fraction simplifiée ne doit plus avoir de diviseur commun supérieur à 1 entre son numérateur et son dénominateur. Dans une équation, remplace l'inconnue trouvée dans l'égalité initiale. Cette vérification courte protège ton record perso contre les erreurs d'étourderie.