Réviser les mathématiques pour le brevet en 3ᵉ : cours, exercices et méthode

Ton plan de jeu : calculer dans le bon ordre

Les automatismes de nombres et calcul reviennent dans de nombreuses questions du brevet. Tu dois savoir calculer avec des nombres relatifs, utiliser les puissances, développer ou factoriser une expression littérale, simplifier une racine carrée et exploiter la décomposition en facteurs premiers. Le point commun entre ces sujets est la rigueur : tu n'appliques jamais une règle parce qu'elle ressemble vaguement à une autre. Tu identifies d'abord la forme du calcul, puis tu choisis la règle adaptée.

Dans une expression numérique, respecte les priorités : les parenthèses, puis les puissances et les racines carrées, ensuite les multiplications et divisions dans l'ordre de lecture, enfin les additions et soustractions dans l'ordre de lecture. Par exemple, dans A = 3 + 2 × 5², tu calcules 5² = 25, puis 2 × 25 = 50, donc A = 53. Écrire 3 + 2 = 5 puis 5 × 25 est faux : tu aurais modifié l'ordre imposé par l'écriture.

Avec les nombres relatifs, sépare le signe et la distance à zéro. Pour additionner deux nombres de même signe, additionne leurs distances à zéro et conserve ce signe : −7 + (−4) = −11. Pour additionner deux nombres de signes contraires, calcule la différence des distances à zéro et garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro : −9 + 5 = −4. Une soustraction est souvent plus simple après transformation : 6 − (−8) = 6 + 8 = 14. Attention : cette transformation concerne uniquement le signe placé devant une parenthèse. Dans −3², la puissance porte sur 3 seulement, donc −3² = −9. En revanche, (−3)² = 9, car le nombre mis au carré est alors −3.

Pour un produit ou un quotient de nombres relatifs, compte les signes. Deux signes identiques donnent un résultat positif ; deux signes différents donnent un résultat négatif. Ainsi, (−6) × (−4) = 24 et 30 ÷ (−5) = −6. Le signe n'est pas une décoration : écris-le à chaque ligne. Avant de valider, estime le signe et l'ordre de grandeur du résultat. Un produit de deux nombres négatifs ne peut pas être négatif.

Puissances et racines : les règles à utiliser sans les mélanger

• Une puissance est un produit de facteurs identiques. Pour tout nombre a, a² = a × a et a³ = a × a × a. Donc 7² = 49 et 2³ = 8. L'exposant indique le nombre de facteurs, pas le nombre par lequel on multiplie.
• Le carré d'un nombre relatif est toujours positif ou nul. Par exemple, (−5)² = 25. Cette propriété est valable parce que le carré correspond à la multiplication de deux facteurs identiques : (−5) × (−5) = 25.
• Pour multiplier des puissances de même base, additionne les exposants : aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Cette règle ne s'applique que si la base est exactement la même. Ainsi, 3² × 3⁴ = 3⁶ = 729, mais 3² × 4² ne devient pas 12⁴.
• Pour diviser des puissances de même base non nulle, soustrais les exposants : aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Par exemple, 5⁶ ÷ 5² = 5⁴ = 625. Tu ne peux pas employer cette règle si les bases sont différentes.
• Pour élever une puissance à une puissance, multiplie les exposants : (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Ainsi, (2³)² = 2⁶ = 64. Les parenthèses sont indispensables : sans elles, l'expression ne signifie pas la même chose.
• La racine carrée positive de x est le nombre positif ou nul dont le carré vaut x. Elle n'existe dans les nombres réels que si x est positif ou nul. √49 = 7, car 7² = 49. En revanche, √(−49) n'est pas un nombre réel.
• La racine carrée annule un carré lorsque le nombre au carré est connu : √(a²) = |a|. La valeur absolue est nécessaire : √((−6)²) = 6 et non −6. En revanche, (√36)² = 36.

Calcul littéral : reconnaître la transformation utile

Ne réduis que des termes semblables

Arithmétique : décomposer, simplifier, partager

L'arithmétique étudie notamment les diviseurs, les multiples et les nombres premiers. Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même. Ainsi, 2 est premier ; c'est le seul nombre premier pair. Le nombre 1 n'est pas premier, car il n'a qu'un seul diviseur positif. Pour savoir si un nombre est premier, cherche s'il admet un diviseur autre que 1 et lui-même. Les critères de divisibilité permettent d'aller plus vite : un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair ; par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ; par 5 s'il se termine par 0 ou 5 ; par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

La décomposition en facteurs premiers écrit un entier positif comme produit de nombres premiers. Pour décomposer 180, tu peux écrire 180 = 2 × 90 = 2² × 45 = 2² × 3² × 5. Chaque facteur final doit être premier. Cette écriture est utile pour calculer un PGCD, simplifier une fraction ou reconnaître un carré parfait. Par exemple, 180 = 2² × 3² × 5 contient 2² et 3², mais le facteur 5 n'est pas au carré : 180 n'est pas un carré parfait.

Le PGCD de deux entiers positifs est leur plus grand diviseur commun. Avec les décompositions en facteurs premiers, conserve chaque facteur commun avec le plus petit exposant. Pour 84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7, le PGCD est 2 × 3 × 7 = 42. Cette méthode est valable pour des entiers positifs. Dans une situation de partage en groupes identiques sans reste, le PGCD donne le plus grand nombre de groupes possible ou la plus grande taille commune, selon ce que demande l'énoncé. Lis l'unité avant de répondre. Le brevet 2026 posait exactement ce type de problème : répartir 112 bonbons à la fraise et 140 bonbons au caramel dans le plus grand nombre possible de sachets identiques ; le corrigé du brevet de maths 2026 décompose les deux nombres en facteurs premiers et trouve un PGCD de 28, soit 28 sachets.

Pour simplifier une fraction, divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. Avec le PGCD, tu obtiens directement une fraction irréductible. Comme PGCD(84 ; 126) = 42, 84 ÷ 126 = 2 ÷ 3. Ne simplifie jamais une fraction en supprimant des chiffres : dans 16 ÷ 24, tu dois diviser le numérateur et le dénominateur par 8 pour obtenir 2 ÷ 3. Enfin, garde tes traces de calcul : elles permettent de vérifier chaque étape et de corriger vite une erreur de signe, de priorité ou de facteur.